Equaçoes Diferenciais Em Series

Séries de Fourier Notas de aulas compiladas no dia 6 de Maio de 2003

Computação, Engenharia Elétrica e Engenharia Civil

Prof. Ulysses Sodré email: <[e-mail]> email: <[e-mail]> Material compilado no dia 6 de Maio de 2003.

Este material pode ser usado por docentes e alunos desde que citada a fonte, mas não pode ser vendido e nem mesmo utilizado por qualquer pessoa ou entidade para auferir lucros.

Para conhecer centenas de aplicações da Matemática, visite a Home Page: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/

E apliquei o meu coração a esquadrinhar, e a informar-me com sabedoria de tudo quanto sucede debaixo do céu; esta enfadonha ocupação deu Deus aos filhos dos homens, para nela os exercitar. Atentei para todas as obras que se fazem debaixo do sol, e eis que tudo era vaidade e aflição de espírito. Aquilo que é torto não se pode endireitar; aquilo que falta não se pode calcular. Falei eu com o meu coração, dizendo: Eis que eu me engrandeci, e sobrepujei em sabedoria a todos os que houve antes de mim em Jerusalém; e o meu coração contemplou abundantemente a sabedoria e o conhecimento. E apliquei o meu coração a conhecer a sabedoria e a conhecer os desvarios e as loucuras, e vim a saber que também isto era aflição de espírito. Porque na muita sabedoria há muito enfado; e o que aumenta em conhecimento, aumenta em dor. (ECLESIASTES 1:13-18, Bíblia Sagrada.)

CONTEÚDO i

Conteúdo

1.1 Problema de aproximação 1

1.2 Problema do limite 1

1.3 Problema da integral 1

1.4 Jean B. Fourier 2

1 A importância das séries de Fourier 1

2.1 Conceitos gerais sobre funções periódicas 2

2.2 Núcleo de Dirichlet 3

2.3 Polinômio trigonométrico 4

2.4 Série trigonométrica 5

2 Funções Periódicas 2

3.1 Algumas fórmulas trigonométricas 5

3.2 Integrais trigonométricas 5

3 Fórmulas e integrais trigonométricas 5

4.1 Função integrável sobre um intervalo 6

4.2 Função integrável sobre a reta real 6

4.3 Função absolutamente integrável sobre um intervalo 7

4.4 Função absolutamente integrável sobre a reta real 7

4 Funções absolutamente integráveis 6

5.1 Aplicação de série de Fourier à soma de uma série numérica 12

5 Séries de Fourier e Coeficientes de Fourier 7

6.1 Propriedades de funções com simetrias par e ímpar 14

6 Tipos importantes de simetrias 13

7.2 Propriedades das simetrias para os coeficientes de Fourier 16

CONTEÚDO iv

8.1 Salto de função descontínua 17

8.2 Valor médio de uma função em um ponto 17

8.3 Descontinuidade de primeira espécie 17

8.4 Descontinuidade de segunda espécie 18

8 Descontinuidade de funções reais 17

9.1 Função seccionalmente contínua 19

9.2 Lema fundamental 20

9.3 Função seccionalmente diferenciável 20

9 Funções Seccionalmente diferenciáveis 19

10 Teorema de Fourier 21

1 Aproximação de função pela série de Fourier 21

12 O fenômeno de Gibbs e a série de Fourier 23

13.1 O papel das extensões de funções 24

13.2 Extensões de funções 2pi-periódicas 26

13.3 Extensões de funções 2L-periódicas 28

13 Séries de Fourier de Senos e Cossenos (Extensões) 24

14.1 Forma simplificada da Série de Fourier 29

14.2 Forma complexa da Série de Fourier 29

14.3 Relação entre coeficientes reais e complexos 31

14 Outras formas de apresentar uma Série de Fourier 29

15.1 A derivada da série de Fourier 3

15.3 EDOL de primeira ordem 34

15.4 EDOL de segunda ordem 35

LISTADEFIGURAS v

1 Uma função periódica 3

2 Função sinc 6

3 Função sinal 8

4 Função modular 9

5 Função sinal transladada para cima 9

6 Função sinal multiplicada por pi/2 1

7 Média aritmética entre t e |t| 12

8 Função parabólica 13

9 Funções com simetrias par e ímpar 14

10 Função com simetria de meia-onda 14

1 Função sinal em um intervalo não simétrico 18

12 Função hiperbólica 19

13 Função modular com a 1a. e 2a. aproximações 2

14 Função modular com a 3a. e 4a. aproximações 2

15 Fenômeno de Gibbs com a 1a. e 2a. aproximações 24

1 A importância das séries de Fourier

Existe uma enorme diferença entre estudar séries de Fourier e séries de potências, pois uma série de Fourier funciona como um processo global enquanto que uma série de potências é local. Apresentaremos alguns problemas mostrando que nem sempre é viável trabalhar com séries de potências, mas pelo contrário, temos a necessidade de trabalhar com Séries de Fourier em sistema práticos.

1.1 Problema de aproximação

Com a série de Taylor de uma função f, obtemos o polinômio de Taylor que dá uma boa aproximação para a função f nas vizinhanças de um ponto, mas uma há uma exigência: que esta função f seja suficientemente suave, ou seja, que f possua derivadas contínuas até uma certa ordem dada, tanto no ponto como nas vizinhanças deste ponto. Para obter um processo de aproximação global, este método falha pois a aproximação de Taylor é local e não global.

1.2 Problema do limite

Para obter o limite de f num ponto x0, a aproximação polinomial de

Taylorfuncionabemmasempontosdistantesdex0, oprocessoéruim. Istoacontecetambémparafunçõesdescontínuaseocorremfalhaspois este processo de aproximação é local.

1.3 Problema da integral

Para obter valores aproximados para uma integral sobre um intervalo, a aproximação de Taylor não funciona. Este problema pode ser resolvido com o uso de Séries de Fourier uma vez que trabalhamos com funções periódicas.

1.4 Jean B. Fourier 2

1.4 Jean B. Fourier

Jean B. Fourier (1768-1830) foi pioneiro na investigação destes problemas. No livro “Théorie Analytique de la Chaleur”, escrito em 1822, ele introduziu o conceito conhecido atualmente como Série de Fourier, que é muito utilizado nas ciências em geral, principalmente nas áreas envolvidas com: Matemática, Engenharia, Computação, Música, Ondulatória, Sinais Digitais, Processamento de Imagens, etc.

2 Funções Periódicas

2.1 Conceitos gerais sobre funções periódicas

O número p é um dos períodos de f. Às vezes existem vários números com esta propriedade, mas o menor número real positivo com esta característica é chamado período fundamental de f, que é simplesmente denominado período.

Se uma função f tem período p, diz-se que f é p-periódica e denotamos este fato por f(x) = f(x + p).

Muitas vezes, é vantajoso tomar o período p = 2L e a função definida no intervalo real simétrico [−L,L], com o objetivo de simplificar as operações.

Exercício: Sejam f e g funções reais.

2.2 Núcleo de Dirichlet 3

Figura 1: Uma função periódic