Junior ju

        Introdução

                O problema desenvolvido neste laboratório tem como finalidade a obtenção de resultados para um sistema linear, com o uso de métodos numéricos que foram apresentado em sala de aula, para este experimento foram utilizados varias ligas de borracha e diferentes pesos. As ligas eram colocadas e as distâncias entre o topo e as massas foram medidas, gerando assim valores que quando aplicado a formula dada se torna em um sistema linear a ser resolvido.

        Desenvolvimento

                Seguindo o material disponibilizado, montamos um experimento que constituía em bloquinhos com diferentes massas e 3 ligas de borracha colocadas entre as massa, as distancias entre o topo e as massa foram medidas, foi coletado vários valores :

PRIMEIRA MEDIÇÃO ( Figura 1 )	SEGUNDA MEDIÇÃO ( Figura 2 )
MASSA	DISTANCIA	MASSA	DISTANCIA
M1=0.060 kg	X1=0.215 m	M4=0.180 kg	X4=0.39 m
M2=0.100 kg	X2=0.37 m	M5=0.150 kg	X5=0.59 m
M3=0.090 kg	X3=0.505 m	M6=0.240 kg	X6=0.75 m

após a coleta desses valores foi gerando um sistema dado pela formula dada no roteiro do experimento:

[pic 1][pic 2][pic 3]

  ΔX1  -ΔX2  ΔX3    K1   =   (M4-M1)g

  ΔX1  ΔX2  -ΔX3    K2   =   (M5-M2)g

  ΔX1  -ΔX2  ΔX3    K3   =   (M4+M6-(M1+M3))g

Em que ΔX1 = X1foto2 – X1foto1 (em metros), ΔX2 = X2foto2 – X2foto1 (em metros), ΔX3 = X3foto2 – X3foto1 (em metros), g = 9.81m/s² é a aceleração da gravidade.

Após calcular todos os valores temos um sistema pronto para ser resolvido.

[pic 4][pic 5][pic 6]

  0,175  -0,22    0        K1   =  (0.180-0.60)g

    0          0,22  -0,246             K2   =  (0.150-0.100)g

  0,175  -0,22  0,246            K3   =  (0.180+0.240-(0.60+0.90))g

Agora com o sistema formado e apresentando incógnitas, podemos resolver o sistema com cálculos numéricos, a problemática gerada e que para resolver este sistema no caderno tomaria muito do tempo então utilizaremos de métodos numéricos para resolver esta equação em pouco tempo.

O primeiro método para resolver será o de Gauss (eliminação gaussiana). O método foi implementado no silab, abaixo temos as funções de entradas e os valores das incógnitas como retorno.

Método da eliminação gaussiana (Figura 3).

 function [x]=sislingauss(A, b)   A e a matriz principal e b o vetor coluna.

                                X os valores resultantes do sistema.

Matriz completa. Triangular superior

[pic 7]

   0.175   - 0.22       0      1.177  

     0       0.22   - 0.245    0.491  

    0         0      0.245    1.472

Agora para termos os valores das incógnitas utilizaremos outra função chamada retroativa.(Figura 4)

function [x]=retroativa(A, b)  A ,b matriz triangular superior. X resoltado do sistema.

    K1=17.942857        

    K2=8.9227273         Este e o valor retornado. E a solução do sistema linear.

    K3=6.0081633         cada valor respectivamente com seus K da matriz.

Depois do primeiro método. Resolveremos agora utilizando o método do LU de forma simples e rápida no silab. Para isto o próprio silab já tem uma função definida.

[L,U]= lu(A) .

      MATRIZ L                              MATRIZ U

[pic 8][pic 9]

    1    0    0                      0.175  - 0.22    0

    0    1    0                        0     0.22  - 0.245  

    1    0    1                        0      0     0.245

Resolvendo pela eliminação gaussiana com o L e U

function [y]=sislingauss(L, b)  Matriz L e vetor b. retornara y

    vetor y[pic 10]

    1.177

    0.491

    1.472         Agora utilizaremos y para acha a solução geral

function [x]=sislingauss(U, y)   Matriz U e vetor y. retorna x

    vetor x[pic 11]

   17.942857  

   8.9227273      Podemos nota que o sistema pode ser resolvido

   6.0081633      pelo método do LU

Ate agora vemos dois métodos e podemos nota que os resultados são aproximados que os vetores solução são os mesmo. Mais a frente calcularemos os valores dos ks de acordo com a função dada no experimento e compararemos os valores, agora iremos testa outro método de Gauss-jacobi.