Web Aula 1 Wa - CCO - Sem 04 - Unidade 02 - Métodos Quantitativos

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Unidade 2 – MEDIDAS ESTATÍSTICAS: MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO

MEDIDAS DE POSIÇÃO

Como o próprio título sugere nosso objetivo aqui é a determinação e de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar.

São os cálculos estatísticos que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição de dados, sendo que as medidas de posição mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana.

Média Aritmética (x)

A medida de tendência central mais comum para um conjunto de dados é a média aritmética. A média aritmética amostral de um conjunto de dados é o quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.

Onde: xi são os valores da variável e n o número de valores.

Exemplo 1: Encontrar a média aritmética para um conjunto de observações:

5, 1, 6, 2, 4.

Solução: Temos cinco observações: n=5, então:

Quando a amostra é muito grande e os dados são discretos, podem ocorrer valores repetidos. Nesse caso é razoável organizar os dados em uma tabela de distribuição de freqüências e trabalharmos com dados agrupados.

Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usaremos a média aritmética do valores x1, x2, x3,....xn, ponderados pelas respectivas freqüências absolutas: F1, F2, F3,..., Fn, Assim:

Exemplo (Cálculo da média com intervalos de classe):

“Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula” anterior, onde xi é o ponto médio da classe (AMAZONAS, 2013, p. 16). Dada a seguinte distribuição de frequência:

Aplicando a equação anterior temos que:

Média Aritmética Ponderada (x):

A média aritmética ponderada também é chamada de média ponderada. É empregada quando as variáveis têm diferentes importâncias relativas, ou ainda, diferentes pesos relativos.

No cálculo da média ponderada, cada valor coletado na série tem uma participação proporcional ao seu peso, isto é, proporcional à importância relativa no conjunto.

O cálculo da média ponderada é obtido pela soma das variáveis multiplicadas pelos seus pesos, dividida pela soma dos pesos de cada variável. Assim:

Onde:

- Média Ponderada

xi – observações ou números da variável em estudo;

pi – ponderações ou pesos da variável.

Exemplo: Calcular a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5.

RESOLUÇÃO:

Aprofundando o conhecimento: Agora sugiro que você abra a biblioteca digital, procure pelo livro GARCIA, R. - UNOPAR. Estatística. São Paulo: Editora: Pearson Education do Brasil, 2009. Leia a unidade 3 - da página 61 a 62.

Mediana (Md)

A mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto de dados ordenados (ROL), portanto está localizada na posição central, tal que 50% dos valores são menores que a mediana e os demais 50% são maiores.

Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente):

“Quando o número de elementos (n) da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série” (AMAZONAS, 2013). Neste caso existirá um único valor de posição central, esse valor será a mediana.

Por exemplo, o conjunto de dados {2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}, O valor que divide a esta série em duas partes iguais é igual a 9, logo a mediana é 9.

Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série de dados. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série de dados. Por exemplo, o conjunto de dados { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }, a mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série. Portanto, a mediana será = (2+3) / 2, ou seja, m = 2,50.

Cálculo da mediana em dados agrupados em intervalos de classe (variáveis contínuas)

Para aprender como se calcula a mediana para dados agrupados em intervalo de classes acesse o link abaixo.

http://www.manoel.pro.br/quantitativos5.pdf

Moda (Mo)

Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. É o valor da amostra que mais se repete; ou seja, valor que ocorre com maior frequência.

A Moda quando os dados não estão agrupados: A Moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete (AMAZONAS, 2013, p. 17). Por exemplo, no conjunto de dados {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12} a moda é igual a 10.

Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Por exemplo, o conjunto de dados {3, 5, 8, 10, 12} não apresenta moda. A série é amodal.

Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Por exemplo, o conjunto de dados {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7 (AMAZONAS, 2013, p. 17).

Neste caso, a série é bimodal.

Distribuições Simples: Quando uma tabela de distribuição de frequência apresenta grande quantidade de dados. É importante destacar a classe de maior frequência, a chamada classe modal. Essa classe mostra a área em que os dados estão concentrados. Assim, para a