Fundamentos Computacao - Conjuntos Com Muitos Exercicios

1. Conjuntos

Definição

Um conjunto é uma coleção de atributos.

Os objetos no conjunto são chamados de elementos, ou membros, do conjunto. Diz-se que os elementos pertencem ao conjunto.

Notação

a  A indica que a é um elemento do conjunto A.

a  A indica que a não é um elemento do conjunto A.

Representação de um conjunto:

V = {a, e, i, o, u} diz que V é o conjunto das vogais do alfabeto português.

V = {1, 2, 3, 4, 5 ...} diz que V é o conjunto dos números inteiros positivos.

V = {x | x é um número inteiro positivo} diz que V é o conjunto dos números inteiros positivos.}

V = {x  Z+ | x é ímpar menor que 100} diz que V é o conjunto dos números inteiros ímpares e menor que 100.}.

V= {x  Z+ | x é impar < 1000}

V+ = { x  R | x = p/q} diz que V é o conjunto dos números racionais positivos. (p e q inteiros positivos).

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se e somente se eles têm os mesmos elementos. Ou seja, se A e B são conjuntos, então A e B são iguais se e somente se x (x  A ↔ x  B).

A = B diz que os dois conjuntos são iguais.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3,) e B = {3, 1, 2} dizemos que A = B.

Representação gráfica de um conjunto

Diagrama de Veen.

Conjunto Vazio

É um conjunto sem elementos.

É representado por  ou { }.

Subconjunto

O conjunto A é um subconjunto de B se e somente se todo elemento de A for também um elemento de B.

Notação:

A  B diz que a é um subconjunto de B. Ou a está contido em B.

A está contido em B se e somente se: x (x  A → x )

A está contido em B, mas não é igual a B:

x (x  A → x  B) Λ x (x  B Λ x  A)

Teorema 1

Para todo conjunto S:   S e S  S

Um conjunto pode ter outros subconjuntos como elementos

A = {, {a}, {b}, {a,b}} e B={x | x é um subconjunto de {a,b}}.

Conjunto Finito

Um conjunto é dito finito se tem um número finito de elementos.

Cardinalidade

A cardinal de um conjunto A é quantidade de elementos que ele contém.

Representação: |A|

Exemplo: A = {1, 3, 3, 4, 5} tem cardinalidade |A| = 5.

|| = 0 pois o conjunto  não tem elemento.

Conjunto Ifinito

Um conjunto é dito infinito se ele não é finito, ou seja, se tem um número infinito de elementos.

Exemplo: Z+ ={x | x é um número inteiro positivo}

Conjunto de Partes

Dado um conjunto S, o conjunto das partes de S é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto S.

O conjunto de partes de S é indicado por P(S).

Exemplo

O conjunto de partes de P{0, 1, 2} é:

P{0, 1, 2} = {, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}

O conjunto das partes de um conjunto com n elementos é: 2n

n-upla

A n-upla ordenada (a1, a2, ..., an) é uma coleção ordenada que tem a1 como seu primeiro elemento, a2 como se segundo elemento, ... e an como seu n-ésimo elemento.

Duas n-tuplas ordenadas são iguais se e somente se cada par correspondente de seus membros forem iguais. Ou seja:

(a1, a2, ..., an) = (b1,b2, ..., bn) se e somente se

ai = bi, para i=1,2,...,n.

Em particular duas n-tuplas são chamadas de pares ordenados.

Os pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente se a = c e b = d

Note que (a, b) e (b, a) não são pares ordenados, a menos que a = b.

Produto Cartesiano

O produto cartesiano de dois comjuntos A e B, indicado por A x B, é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), em que a  A e b  B. Ou seja:

A x B = {(a,b) | aA Λ bB}

Exemplo

Dados os conjuntos A={1,2} e B = (a,b)

A x B = {(1,a), (1,b},(2,a),(2,b)}

Operações com Conjuntos

União de conjuntos

A união dos conjuntos A e B, indicados por A ᴜ B, é o conjunto que contém todos os elementos que estão em A ou em B, ou em ambos.

A ᴜ B = {x | x  A V x  B}

Exemplo

A = {1,2,3,4} e B = {1, 2, 10} A ᴜ B = {1,2,3,4,10}

Figura 1- diagrama de Venn para A U B

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B, indicada por A  B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A e B, simultaneamente.

A  B = {x | x