Trabalho De Hidraulica

Resumo. O conteúdo deste artigo refere-se ao escoamento de fluidos sob a ação da força da gravidade. Os experimentos realizados consistem na determinação das relações entre a altura da coluna de líquido, do raio do orifício de saída e do comprimento da mangueira com o tempo de escoamento, as quais foram obtidas a partir da construção de gráficos a partir dos dados coletados. Foi-se também observada a ocorrência de erros sistemáticos nessas medidas. Os procedimentos se mostraram satisfatórios.

Palavras chave: escoamento, tempo, fluido.

Introdução

O escoamento de um fluido pode ser extremamente complexo, como no caso de correntezas de um rio ou de chamas revoltas de uma fogueira em um acampamento. O escoamento dos fluidos pode ocorrer dentro de regimes laminar e turbulento. No primeiro caso, as camadas adjacentes do fluido deslizam umas sobre as outras e o escoamento é estacionário, no segundo caso, não pode existir nenhuma configuração com escoamento estacionário.

Entretanto, algumas situações podem ser descritas mediante um modelo idealizado simples. Um fluido ideal é um fluido incompressível e sem nenhum atrito interno. O atrito interno em um fluido produz tensões de cisalhamento quando existe um movimento relativo entre duas camadas vizinhas do fluido. Em alguns casos essas tensões podem ser desprezadas em comparação às diferenças de pressão e forças oriundas da ação da gravidade.

No experimento realizado, observou-se o escoamento de fluidos sob ação da força gravitacional. A realização de medidas do tempo de escoamento da água em um reservatório cilíndrico em função da diferença entre os níveis inicial e final são mais simples de serem feitas do que a medida da velocidade instantânea do jato. Assim podemos obter relações entre o tempo de escoamento e variação da altura.

A situação mais simples corresponde a um reservatório de seção reta uniforme, com um furo na sua parede inferior. Se h é a altura da coluna de líquido, a velocidade v com que o jato de fluido sai do reservatório é expressa por:

v= √2gh (1)

Esta equação pode ser obtida através da equação de Torricelli ou com o auxilio da equação de Bernoulli ela pode ser facilmente obtida. Esta equação pode ser utilizada apenas para pequenas variações de altura, já que podemos considerar a seção reta do reservatório (πR2) é muito maior que a do orifício (πr2) por onde escoa o fluido. Porém, para uma variação apreciável no nível do fluido contido no reservatório, podemos perceber que a velocidade do jato diminui à medida que o nível de água vai abaixando. Assim podemos utilizar a seguinte relação que é válida para pequenos intervalos de tempo.

A integração da equação anterior leva à seguinte relação entre a variação de altura no reservatório e o intervalo de tempo em que o fluido ecoou:

A equação de Bernoulli pode ser usada na obtenção da relação de Torricelli porque o efeito da viscosidade dentro do reservatório é pequeno. No entanto, se após sair do orifício, a água transitar ainda por um duto estreito, este efeito se torna relevante, fazendo com que a velocidade da água seja menor que a expressa pela relação (1). Este fato pode ser constatado pela medida do tempo necessário para o escoamento da água para fora do reservatório, que vai crescer à medida que o comprimento do duto aumenta.

Para usar a equação de Bernoulli temos que levar em conta que uma certa quantidade de energia foi dissipada. Pode-se indicar este efeito pela variação na densidade de energia ∆ε. Isto implica que, se tomamos dois pontos dentro de um duto, com a mesma altura vertical, a pressão no ponto a montante é maior do que aquela a jusante. Matematicamente temos a seguinte relação:

Por outro lado, a relação para o perfil parabólico do fluxo de Poiscuille,

mostra que a velocidade não é uniforme em uma seção reta do tubo, mas varia do valor máximo no centro(x=0) até se anular na parede (x=r). L indica a distância entre dois pontos, entre os quais a diferença de pressão é . Podemos calcular o valor da velocidade média vm = em uma seção reta do tubo, e identificá-la com a velocidade uniforme indicada pela equação de Bernoulli. Assim, o valor em (4) pode ser expresso em termos da velocidade dentro do tubo. Com estas modificações, a expressão para velocidade de escoamento da água, que percorre o tubo horizontal de comprimento L, após sair do reservatório fica:

Já a nova relação entre o tempo de escoamento e a diferença de altura, resultante da integração de uma equação para dh/dt análoga a (2), é

onde .

Se b/h1<<1, a relação (6) pode ser simplificada para a seguinte forma:

Procedimento Experimental

Utilizou-se durante o experimento, uma garrafa PET, 5 tampinhas com orifícios de raios diferentes e 3 tampinhas acopladas a mangueiras de tamanhos distintos. Inicialmente, posicionou-se a garrafa com o gargalo para baixo, utilizou-se a tampa com o menor orifício, apoiou-a no suporte de madeira, tampou-se o orifício com o dedo e encheu-se a garrafa com água até a marca de 30 cm. Foi-se retirando lentamente o dedo do orifício até que a água atingisse a marca de 29 cm, neste momento foi-se disparado o cronômetro e destampado o orifício simultaneamente. Registraram-se os instantes em que a água atingiu as marcas de 25, 21, 17, 13 e 10 cm. Este procedimento foi repetido para as outras tampinhas.

Em seguida, realizou-se o mesmo procedimento descrito acima utilizando-se cada uma das tampinhas com mangueira acoplada.

Resultados e Discussão

1. ESCOAMENTO TIPO TORRICELLI

Foram calculados os intervalos ∆t(h1)=t(h2) – t(h1), e os resultados podem ser encontrados no anexo II. A partir da fórmula (3), indicada na introdução, podemos calcular os valores teóricos de para cada intervalo de tempo ∆t(h1), como exemplificado abaixo para o primeiro intervalo de tempo com r =1,5 cm.

Com posse destes valores e do cálculo de (com os valores experimentais de h1) foi traçado o gráfico da relação entre essas duas grandezas; no mesmo papel, foi traçado o também o gráfico dos valores teóricos para em função dos mesmos ∆t(h1). Os gráficos para cada raio estão indicados abaixo:

fig 1: gráfico de h10,5 x ∆t2 p/ r = 0,15cm

fig 2: gráfico de h10,5 x ∆t2 p/ r = 0,2cm

fig 3: gráfico de h10,5 x ∆t2 p/ r = 0,25cm

fig 4: gráfico de h10,5 x ∆t2 p/ r = 0,3cm

fig 5: gráfico de h10,5 x ∆t2 p/ r = 0,35cm

Foi notada nos gráficos a presença de um erro sistemático (∆h2) que aumentou com o aumento do raio r, como pode ser visualizado na figura 6.

fig 6: gráfico de ∆h2 x r

Para obter a dependência funcional entre os valores de r e ∆t, foi traçado um gráfico com essas duas grandezas em papel log-log e foi realizado o método dos mínimos quadrados, conforme indicado abaixo:

fig 7: gráfico de r x ∆t2

c = (∑log x)( ∑log y) - n(∑logxlogy)

(∑ logx)2 - n(∑logx2)

c = 2,05 . -0,82 – 5 . -5,58

(8,75)2 – 5 . 15,59

c = -0,55

b = (∑logxlogy)( ∑logx) - (∑logx2)( ∑logy)

(∑ logx)2 - n(∑logx2)

b = -5,58 . 2,06) – 15,59 . -3,10

(8,75)2 – 5 . 15,59

b = 0,34

log r = c.log ∆t + b

log r = log ∆tc.10b

r = ∆tc.10b substituindo os valores de b e c temos:

r = ∆t-0,55.100,34

r = 2,19 . ∆t -0,55

Com esta equação encontrada, percebemos que à medida que o raio aumenta, o tempo de escoamento diminui, como se trabalhou começando da mesma altura, conclui-se que a velocidade aumenta.

Isolando o r na equação 3, temos que:

O que indica q o valor esperado para c, expoente de (t2 – t1), era de -0,5. Calculando o erro relativo entre o valor encontrado e o esperado, temos:

Como o erro não foi muito grande, o valor encontrado está de acordo com o indicado pela equação. Dentre os erros experimentais podemos destacar: erro ao marcar o tempo e visualizar o ponto da altura desejada; erro ao encher a garrafa na marca exata de 29 cm.

2. ESCOAMENTO EM DUTOS

A partir das fórmulas indicadas na introdução, podemos calcular os valores teóricos de h10,5+ 2b.ln(h10,5) para cada intervalo de tempo ∆t(h1), como exemplificado abaixo para o tubo de maior comprimento.

.

b = 0,51

h10,5+ 2b.ln(h10,5) = 290,5+ 2.0,51.ln(290,5) = 7,1

Com posse destes resultados o dos valores teóricos obtidos pelo lado direito da equação 8, traçamos os gráficos abaixo:

fig 8: gráfico de h10,5 + 2b.ln(h10,5) x ∆t2 p/L=14,57 e r=0,4

fig 9: gráfico de h10,5 + 2b.ln(h10,5) x ∆t2 p/L=30,46 e r=0,48

fig 9: gráfico de h10,5 + 2b.ln(h10,5) x ∆t2 p/L=64 e r=0,48

fig 10: gráfico de do erro em função de L

Pode-se observar que há a presença de um erro sistemático e que ele aumenta com o aumento do comprimento (L) para um mesmo raio, conforme mostrado na figura 11. Isso provavelmente se deve ao fato de que quanto maior o tubo mais o atrito entre este e a água irá interferir nos cálculos, fazendo com que a velocidade encontrada seja cada vez menor do que a esperada (e o ∆t cada vez maior).

Dentre os erros experimentais podemos destacar: a graduação não muito confiável da garrafa, a posição da mangueira, a qual deveria ter a extremidade livre na mesma altura da boca da garrafa, o que foi se tornado mais difícil com o aumento do comprimento da mangueira; o uso de uma mangueira com o raio diferente das demais, o que dificultou a visualização do erro sistemático nesta segunda parte do experimento.

Conclusão

A partir da realização do experimento determinaram-se as relações entre o tempo de escoamento e (1) a altura da coluna de líquido, a qual mostra que o aumento da coluna leva a um aumento no tempo, contudo o aumento do raio do orifício de saída aumenta a significância do erro sistemático; (2) o raio do orifício de saída, na qual se obteve a relação r = 2,19. ∆t -0,55 (com erro do expoente de ∆t igual a 9,2% em relação ao valor esperado), que mostra que a medida que o raio aumenta, o tempo diminui e, conseqüentemente, a velocidade de escoamento aumenta; (3) comprimento da mangueira, a qual mostra que quando o tubo é maior, maior é o tempo de escoamento, ou seja, menor é a velocidade e que, para um mesmo raio, o erro sistemático aumenta com o aumento do comprimento do tubo.

Apesar dos erros experimentais, a análise dos dados obtidos valida o experimento dentro das expectativas relacionadas ao entendimento teórico do escoamento de fluidos sob regime laminar.

Referências

[1] Halliday, D.; Resnick, R.; Walker,J, “Fundamentos de Física, vol 2” , pp. 71-79, LTC editora, 2002.

[2] Young, H. D.; Freedman, R. A., “Física II Termodinâmica e Ondas”, pp. 52-55, Addison Wesley,2008.