Trabalho Completo Trigonometria

Trigonometria

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Categoria: Outras

Enviado por: Paulo.lemes 03 abril 2013

Palavras: 3678 | Páginas: 15

Evolução Histórica da Trigonometria

Evolução Histórica da Trigonometria Ailton Barcelos da Costa1 A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 322. Para considerar a gênese, devemos discutir qual o significado que daremos ao termo Trigonometria. Se o tomarmos como a ciência analítica estudada atualmente, teremos a origem no século XVII, após o desenvolvimento do simbolismo algébrico. Mas, se o considerarmos para significar a geometria acoplada à Astronomia, as origens remontarão aos trabalhos de Hiparco, no século II a.C., embora existam traços anteriores de seu uso. Se o considerarmos, ainda, para significar literalmente medidas do triângulo, a origem será no segundo ou terceiro milênio antes de Cristo. Então, podemos dizer que os primeiros indícios de rudimentos de trigonometria surgiram tanto no Egito quanto na Babilônia, a partir do cálculo de razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes. No Egito, isto pode ser observado no Papiro Ahmes, conhecido como Papiro Rhind, que data de aproximadamente 1650 a.C., e contém 84 problemas, dos quais quatro fazem menção ao seqt de um ângulo. Ahmes não foi claro ao expressar o significado desta palavra mas, pelo contexto, pensa-se que o seqt de uma pirâmide regular seja equivalente, hoje, à cotangente de um ângulo. Na construção das pirâmides era essencial manter uma inclinação constante das faces, o que levou os egípcios a introduzirem o conceito de seqt, que representava a razão entre afastamento horizontal e elevação vertical. Além da utilização da trigonometria nas medições das pirâmides, apareceu no Egito (1500 a.C. aproximadamente) a idéia de associar sombras projetadas por uma vara vertical a seqüências numéricas, relacionando seus comprimentos com horas do dia (relógios de sol). Poderíamos dizer então que essas idéias estavam anunciando a chegada, séculos depois, das funções tangente e cotangente. Os predecessores da tangente e da cotangente, no entanto, surgiram de modestas necessidades de medição de alturas e distâncias. Como já mencionamos, os primeiros vestígios de trigonometria surgiram não só no Egito, mas também na Babilônia. Os babilônios tinham grande interesse pela Astronomia, tanto por razões religiosas, quanto pelas conexões com o calendário e as épocas de plantio. É impossível o estudo das fases da Lua, os pontos cardeais e as estações do ano sem usar triângulos, um sistema de unidades de medidas e uma escala. Os babilônios foram excelentes astrônomos e influenciaram os povos posteriores. Eles construíram no século 28 a.C., durante o reinado de Sargon, um calendário astrológico e elaboraram, a partir do ano 747 a.C, uma tábua de eclipses lunares. Uma trigonometria primitiva foi encontrada no Oriente. Na China, no reinado de Chóu-pei Suan-king, aproximadamente 1110 a.C., os triângulos retângulos eram freqüentemente usados para medir distâncias, comprimentos e profundidades. Existem evidências tanto do conhecimento das relações trigonométricas quanto do conceito de ângulo e a forma de medi-lo mas, infelizmente não temos registro de como eram feitas as medições e quais as unidades de medida usadas. Na literatura chinesa, segundo COSTA (s/d) entramos uma certa passagem que podemos traduzir por: "O conhecimento vem da sombra, e a sombra vem do gnômon", o que mostra que a trigonometria plana primitiva já era conhecida na China no segundo milênio a.C Também na China, em 152 a. C., há indícios que Chuan Tsanom sistematizou todo o conhecimento matemático conhecido na coleção "A Matemática em Nove Livros", a qual foi modificada mais tarde no século I d. C. por Lin Sing, onde já se usava o π = 3,1547, obtido de maneira semelhante a que Arquimedes (287 – 212 a. C.) conseguiu na Grécia. Ainda na China Antiga, no século III d. C, Lin Hui, fazia aplicações do teorema de Pitágoras. A primeira amostra documentada de contribuição grega para o estudo da trigonometria apareceu por volta de 180 a.C. quando Hipsícles, influenciado pela cultura babilônica, dividiu o zodíaco em 360 partes. Essa idéia foi posteriormente generalizada por Hiparco para qualquer círculo (Eves, 1995). O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser chamado "o pai da Trigonometria", pois na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transição entre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As principais contribuições à Astronomia, atribuídas a Hiparco se constituíram na organização de dados empíricos derivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentos em constantes astronômicas importantes - duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da eclíptica - e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios. Assim, podemos dizer que na Grécia, durante os dois séculos e meio compreendidos entre Hipócrates e Eratóstenes, a trigonometria esteve engatinhando, o que nos leva a concordar com a afirmativa de BOYER (1974, p. 118): "De Hipócrates a Eratóstenes os gregos estudaram as relações entre retas e círculos e as aplicaram na Astronomia, mas disso não resultou uma trigonometria sistemática". A "Trigonometria" era então baseada no estudo da relação entre um arco arbitrário e sua corda. Hiparco escreve a respeito do cálculo de comprimentos das cordas. Apesar da corda de um arco não ser o seno, uma vez conhecido o valor do seu comprimento, pode-se calcular o seno da metade do arco, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é justamente esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o comprimento da corda subtendida por um ângulo x é . A palavra cosseno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno do complemento de um ângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelos problemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que parece, surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias. Outro matemático grego, Menelau de Alexandria, por volta de 100 d.C., produziu um tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam. Felizmente o seu tratado Sphaerica , em três livros, se preservou numa versão árabe e é o trabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica. Entretanto, a mais influente e significativa obra trigonométrica da Antigüidade foi a Syntaxis mathematica, obra escrita por Ptolomeu de Alexandria que contém 13 livros. Este tratado é famoso por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo de outros foi associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia o chamaram de Almajesto, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome. Posteriormente, surgiu a necessidade de uma nova unidade de medida para os ângulos. Foi quando surgiu o radiano, denominado radian, pois os estudiosos discutiam uma "expressão" do ângulo em termos de , que primeiramente foi chamada " -medida", "circular" ou "medida arcual". Nenhum autor explica por que fizeram uso dessa unidade, mas o seu uso simplificou várias fórmulas matemáticas e físicas. Durante seis séculos, O Almajesto, representou a mais importante fonte de consulta para os astrônomos de todo o mundo. Porém no século VIII é que os cientistas voltariam a sua atenção para as obras trigonométricas de um povo, que sempre surpreendera o mundo com sua Matemática original e criativa, os Hindus. Sobre a trigonometria na Índia, entre os séculos VIII – VII a. C, onde temos dois mais antigos monumentos da cultura matemática dos hindus, os livros religiosos Sutras e Vedas, escritos em Sânscrito. Neles encontramos, de acordo com RIBNIKOV (1987), construções geométricas que constituem parte importante da parte dos rituais na construção de obras para o culto, como templos e altares. Neles podemos encontrar os primeiros métodos da quadratura de círculos e aplicações do teorema de Pitágoras. Assim, no século IV da nossa era, a Europa Ocidental entrou em crise com as invasões dos bárbaros germânicos e com a queda do Império Romano. O centro da cultura começou a se deslocar para a Índia, que revolucionou a trigonometria com um conjunto de textos denominados Siddhanta, que significa sistemas de Astronomia. O que chegou até nós foi o Surya Siddhanta, que quer dizer Sistemas do Sol e é um texto épico, de aproximadamente 400 d.C, escrito em versos e em sânscrito. Os hindus diziam que o autor do texto foi Surya, o deus do Sol. Esta obra contém poucas explicações e nenhuma prova pois, afinal, tendo sido escrita por um Deus, seria muita pretensão exigir provas. (Boyer, 1974). A importância do Surya, para nós, é que ele abriu novas perspectivas para a Trigonometria por não seguir o mesmo caminho de Ptolomeu, que relacionava as cordas de um círculo com os ângulos centrais correspondentes. Nas aplicações da .função. corda, na Astronomia, era necessário dobrar o arco antes de usá-lo na tábua de cordas. Naturalmente, era mais conveniente ter uma tábua na qual o próprio arco fosse a variável independente. No Surya, a relação usada era entre a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente, chamada por eles de jiva. Isto possibilitou a visão de um triângulo retângulo na circunferência. Por volta de 500 d.C., o matemático hindu Aryabhata já calculava semi cordas e usava também o sistema decimal, desenvolvido aproximadamente em 600 d.C. Ao surgirem, os numerais hindus continham nove símbolos e não havia símbolo para o zero. Quando os hindus introduziram os conceitos de semi corda e de seno, demonstraram algumas identidades, e encontramos em Varahamihira, no ano 505 d.C., o equivalente verbal de (sen x)2 + (cos x)2 = 1. O primeiro aparecimento real do seno de um ângulo se deu no trabalho dos hindus. Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metade de cordas que agora realmente são tabelas de senos e usou jiva no lugar de seno. Esta mesma tabela foi reproduzida no trabalho de Brahmagupta, em 628, e um método detalhado para construir uma tabela de senos para qualquer ângulo foi dado por Bhaskara em 1150. Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e a Trigonometria de jiva - de origem hindu - o conflito chegou ao final quando, entre 850 e 929, o matemático árabe al-Battani adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário - surgiu o nome da função seno. Após os hindus, foram os árabes e os persas a dar sua contribuição à trigonometria. O Império Muçulmano ou Árabe, além da expansão econômica, viveu extraordinário avanço nos diversos campos das artes e da ciência do fim do século VIII até o século XI, com destaque ao século IX. A expansão do saber muçulmano deveu-se, sobretudo, à difusão da língua árabe, que substituiu o grego na condição de língua internacional. O emprego do árabe permitiu a fixação e a preservação de obras antigas, que foram traduzidas e assim difundidas entre os intelectuais muçulmanos. Podemos dizer que a influência árabe começou com a fundação da Escola de Bagdad, no século IX, e um dos seus maiores expoentes foi o príncipe da Síria Mohamed-ben-Geber, conhecido como AL Battani (aproximadamente 850 a 929 d.C.), ou Albategnius, nas traduções latinas, chamado o Ptolomeu de Bagdad. Os estudos de AL Battani ficaram entre o Almagesto e Siddhanta e foi por sua influência que a trigonometria hindu foi adotada pelos árabes, principalmente a partir de sua genial idéia de introduzir o círculo de raio unitário e com isso demonstrar que a razão jiva é válida para qualquer triângulo retângulo, independentemente do valor da medida da hipotenusa. Depois de Al-Battani, digno de nota entre os matemáticos árabes foi Abu'l Wafa que, em 980, iniciou uma organização, uma sistematização de provas e teoremas de trigonometria. Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu'l Wafa sabia que sen2x = senx. Cosx, embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu sem(x+y)=senx.cosy+seny.cosx, fazendo x = y. De acordo com STRUIK (1992), quando a Escola de Bagdad entrou em declínio, o centro das atividades intelectuais deslocou-se para o sul da Europa, na Península Ibérica, e com ele o estudo da trigonometria, particularmente nos triângulos esféricos necessários aos estudos astronômicos. A cidade de Toledo tornou-se o mais importante centro da cultura, a partir de 1085, quando foi libertada pelos cristãos do domínio mouro. Isto ocorreu porque para ela afluíram os estudiosos ocidentais, visando a adquirir o saber muçulmano. O século XII na História da Matemática foi, então, um século de tradutores dos quais citamos Platão de Tivoli, Gerardo de Cremona, Adelardo de Bath e Robert de Chester. Com isso, a Europa teve acesso à matemática árabe e à herança grega que havia sido conservada, na medida do possível, por eles. A palavra hindu jiva - meia corda, dada ao seno foi traduzida para o árabe que chamou o seno de jiba, uma palavra que tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcos numa circunferência que originou o seno. O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando os autores europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram jaib na palavra sinus. Em particular, o uso de Fibonacci do termo sinus rectus arcus rapidamente encorajou o uso universal de seno. Uma justificativa para esse erro de tradução seria o fato de que em árabe, como em hebraico, é freqüente escrever-se apenas as consoantes das palavras, cabendo ao leitor a colocação das vogais. Além de jiba e jaib terem as mesmas consoantes, a primeira dessas palavras era pouco comum, pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito. Diversos dos astrônomos árabes se deslocaram para a Espanha para trabalhar e passaram a difundir o saber. Os mais importantes escritores foram os astrônomos Ibrâhîm ibn Yahyâ al Naqqâsh, (conhecido como Abû Ishâq ou Ibn al-Zarqâla ou, nas traduções latinas como Arzachel, e que viveu em Córdoba) autor de um conjunto de tábuas trigonométricas em 1050, e Jabir ibn Aflah (conhecido como Jeber ibn Aphla, tendo vivido em Sevilha), cujos estudos astronômicos de 1145 se mostraram tão interessantes que, séculos mais tarde (1543), foram publicados em Nuremberg. O matemático europeu mais habilidoso do século XIII foi Fibonacci (1170-1250). Ele estudou no norte da África e depois viajou pelo Oriente como mercador, com isso sofreu grande influência dos árabes. Sua obra Practica Geometriae, de 1220, é uma aplicação da trigonometria árabe na Agrimensura. Paralelamente ao desenvolvimento da trigonometria, que já vinha ocorrendo na Europa desde o século XI com a retomada do conhecimento árabe, ocorreu o desenvolvimento das funções. Neste campo surgiu Nicole Oresme (1323 – 1382) com seu Treatise on theconfiguration of Qualities and Motions., no qual introduziu a representação gráfica que explicita a noção de funcionalidade entre variáveis (no caso velocidade por tempo). Seu trabalho influenciou Galileu (1564-1642) e Descartes (1596-1650) nos séculos XVI e XVII. Com os estudos de Oresme, começou a se consolidar o conceito de função. No século XIV, Purbach, na Inglaterra, retomou a obra de Ptolomeu e computou uma nova tábua de senos, muito difundida entre os estudiosos europeus. Purbach foi o mestre de Regiomontanus (1436-1475), um dos maiores matemáticos do século XV, cujo trabalho teve grande importância, estabelecendo a Trigonometria como uma ciência independente da Astronomia. Regiomontanus escreveu um Tratado sobre triângulos., em cinco livros, contendo uma trigonometria completa. A invenção posterior dos logaritmos e alguns dos teoremas demonstrados por Napier (1550-1617) mostram que a Trigonometria de Regiomontanus não diferia basicamente da que se faz hoje em dia. No .Tratado. ele calculou novas tábuas trigonométricas, aperfeiçoando a de senos de Purbach, e introduziu na trigonometria européia o uso das tangentes, incluindo-as em suas tábuas. Podemos dizer que foi ele quem lançou as fundações para os futuros trabalhos na trigonometria plana e esférica. Copérnico (1473-1543) também contribuiu ao completar, em 1520, alguns trabalhos de Regiomontanus, que incluiu em um capítulo de seu De Lateribus et Angulis Triangulorum., publicado separadamente por seu discípulo Rhaeticus em 1542, e este também produziu tabelas importantes de senos e cossenos que foram publicadas após a sua morte. O primeiro trabalho impresso em trigonometria provavelmente foi a Tabula Directionum de Regiomontanus, publicado em Nuremberg certamente antes de 1485, pois a segunda edição data deste ano, em Veneza. As seis funções trigonométricas foram definidas como funções do ângulo, em vez de funções do arco, e subentendidas como razões, pela primeira vez, no .Canon DoctrinaeTtriangulorum. De Joachim Rhaeticus em Leipzig, 1551, embora ele não tenha dado nomes para seno, cosseno ou cossecante, exceto perpendiculum, basis e hypotenusa. O termo seno certamente não foi aceito imediatamente como a notação padrão por todos os autores em tempos, quando a notação matemática era por si mesma uma nova idéia, muitos usaram a sua própria notação. Edmund Gunter foi o primeiro a usar a abreviação sen em 1624 em um desenho. O primeiro uso de sen em um livro foi em 1634 pelo matemático francês Hérigone, enquanto Cavalieri usava Si e Oughtreds. Por sua vez, o cosseno seguiu um curso semelhante no que diz respeito ao desenvolvimento da notação. Viète usou o termo sinus residuae para o cosseno, Gunter em 1620, sugeriu co-sinus. A próxima figura notável na trigonometria foi Pitiscus que publicou um tratado, em 1595, no qual corrigiu as tábuas de Rhaeticus e modernizou o tratamento do assunto. A palavra trigonometria aparece pela primeira vez, como título de um livro seu. Seguindo Pitiscus, destacamos o britânico Napier, que estabeleceu regras para triângulos esféricos, que foram amplamente aceitas, enquanto sua maior contribuição, os logaritmos, ainda estavam sendo analisados e não eram reconhecidos como válidos por todos. Suas considerações sobre os triângulos esféricos foram publicadas postumamente no .Napier Analogies., do .Constructio. no ano de 1619, em Edinburgh. Outro grande expoente em trigonometria foi Oughtred. Em seu trabalho, de 1657, preocupou-se em desenvolvê-la do ponto de vista simbólico. No entanto, como o simbolismo algébrico estava pouco avançado para tornar isto possível, a idéia não foi aceita até que Euler exercesse sua influência neste sentido no século XVIII. John Newton (1622-1678) publicou em 1658 o tratado Trigonometria Britannica que, embora baseado nos trabalhos de Gellibrand e outros escritores, era o mais completo livro do tipo que havia surgido em seu tempo. Newton e Gellibrand anteciparam a tendência atual de introduzir divisões centesimais do ângulo nas tábuas trigonométricas. O próximo importante passo em trigonometria foi dado por John Wallis (1616-1703) ao expressar fórmulas usando equações em vez de proporções, e por trabalhar com séries infinitas. Sir Isaac Newton (1642-1727) também deu sua contribuição à trigonometria pois, paralelamente aos seus estudos de cálculo infinitesimal apoiados fortemente na geometria do movimento, trabalhou com séries infinitas, tendo expandido arcsen x em séries e, por reversão, deduzido a série para sen x. Além disso, comunicou a Leibniz a fórmula geral para sen (nx) e cos(nx) tendo, com isso, aberto a perspectiva para o sen x e o cos x surgirem como números e não como grandezas, sendo Kastner, em 1759, o primeiro matemático a definir as funções trigonométricas de números puros. A trigonometria toma a sua forma atual quando Euler (1707-1783) adota a medida do raio de um círculo como unidade e define funções aplicadas a um número e não mais a um ângulo como era feito até então, em 1748. A transição das razões trigonométricas para as funções periódicas começou com Viète no século XVI, teve novo impulso com o aparecimento do Cálculo Infinitesimal no século XVII e culminou com a figura de Euler. O tratamento analítico das funções trigonométricas está no livro .Introductio in Analysin Infinitorum., de 1748, considerado a obra chave da Análise Matemática. Nele, o seno deixou de ser uma grandeza e adquiriu o status de número obtido pela ordenada de um ponto de um círculo unitário. Assim, a trigonometria, no início uma auxiliar da Agrimensura e da Astronomia, tornou-se primeiramente autônoma e por fim transformou-se em uma parte da Análise Matemática, expressando relações entre números complexos, sem necessidade de recorrer a arcos ou ângulos. Para encerrar, fica a nossa mensagem ao professor para que, ao ensinar trigonometria, e alguma forma se discuta com os alunos questões que os levem a perceber que o conhecimento matemático não "caiu do céu" ou surgiu pronto e acabado e que de alguma forma a evolução possa ser acompanhada e alguma parte do caminho feita com eles.

Definição: Um radiano é a medida do ângulo central de uma circunferência e que determina um arco com o mesmo comprimento que o raio desta circunferência.

Figura 1: ângulo com medida igual a 1 radiano

A medida desse ângulo, quando expressa em graus, é igual a 180°/que é aproximadamente 57,3°.A partir desta unidade, podemos calcular a medida de qualquer ânguloplano em radianos. Vale salientar que, apesar da medida em grausainda ser muito utilizada, os radianos são reconhecidos como unidadede medida no Sistema Internacional de Unidades.Pela sua simplicidade, este áudio é recomendado para retomarconceitos básicos de Geometria Plana.

BIBLIOGRAFIA • BOYER, C.B. História da Matemática, Editora Blücher, São Paulo, SP, 1974. • COSTA, Nielce M. Lobo.http://www.paulofreire.org/Biblioteca/histtrigon.pdf. Consultado em: 08/10/2007. • EVES, H.: Introdução à História da Matemática, Editora da UNICAMP, Campinas, SP, 1997. • RIBNIKOV, K. História de las matemáticas. Moscou: Mir, 1987. • SMITH, D.E. History of Mathematics. Vol. I, Dover Publications, INC. New York, 1958. • STRUIK, D.J.. História Concisa das Matemáticas. - Trad. de J.C. Santos Guerreiro, Ed. Gradiva, Lisboa, 1992.