A Cicloides

Resumo

O objetivo deste trabalho é mostrar um pouco da rica história do estudo da cicloide. Para isso, serão mostrados primeiramente os passos da sua construção, as deduções de suas equações polares e cartesianas que, a seguir, serão utilizadas nos cálculos da área sob um arco dessa curva, da reta tangente, bem como, do comprimento desse arco.
Serão verificadas as aplicações da cicloide nos casos do pendulo de Huygens, em que ela se comporta como isócrona e do problema da
braquistócrona que foi desafio dos grandes matemáticos dos séculos
XVII e XVIII, com destaque para Huygens e os irmãos Jakob e Johann Bernoulli.

Contexto Histórico

Muitos boatos dizem que as cicloides foram descobertas por Galileu (~1599),  mesmo antes de ser nomeada, essa curva já era estudada por Nicholas Cusa (1401 – 1464) e pelo teólogo e matemático francês, Charles Bouvalles (1471 – 1553). O estudo de ambos não era diretamente ligado as cicloides, mas algo muito próximo, que e a quadratura da circunferência. Galileu, e seu brilhante aluno Vincenzo Viviane, estudaram bastante essa curva e aplicaram nas estruturas dos arcos de pontes, ele também observou que a área da cicloide era três vezes maior que a área do circulo gerador, isso foi demostrado pelo professor de matemática francês Roberval (1602 – 1675), que acusou Toricelli (1608-1647) de roubar o seu trabalho. Foi Galileu que batizou a curva como Cicloide.

Durante o século XVI o assunto gerou tanta repercussão que a curva cicloide foi chamada de “Helena da matemática” ou de “Pomo da discórdia”. O frade Marin Mersenne (1588 – 1688), colega de René Descartes, propôs um desafio para ele, Fermat, Roberval e outros, gerando uma grande discussão sobre a curva. Depois disso a cicloide só voltou a ser discutida quando apareceram os problemas da Tautócrona e da Braquistócrona que será discutido durante o trabalho.

Além dos nomes de Galileu, Mersenne, Roberval e Torricelli, ha vários
outros nomes de cientistas importantes relacionados à cicloide, como por
exemplo, Pascal, Huygens, os irmãos Bernoulli, Newton e Leibniz,
entre outros.

Cicloide

Definição: Cicloide e uma curva plana descrita por um ponto de uma circunferência que rola, sem deslizar sobre uma reta. Esse ponto e chamado de gerador, a circunferência geradora e a reta de diretriz da cicloide.

Pascal descreveu a cicloide da seguinte forma:

“A cicloide é uma curva tão usual e corrente que depois da reta e
da circunferência nenhuma outra curva é tão comumente encontrada. E descrita tão frequentemente diante de nossos olhos que é surpreendente que não tenha sido considerada pelos antigos..”

Vamos desenhar uma curva cicloide fixando um pondo da circunferência no centro de um plano cartesiano, depois giramos completamente a circunferência no sentido positivo do eixo x e vemos o comportamento desse ponto.

Desenho 1; Construção da
ciclóide. A figura ilustra uma
ciclóide de raio R=1, e por este
motivo, o parâmetro θ variou de
0 a 2π.

Equações Paramétricas

Para encontrar as equações paramétricas vamos padronizar que a circunferência de raio R rola no sentido positivo do eixo-x. Sendo θ o ângulo de rotação escolhido como parâmetro para descrever a curva. E, quando θ = 0, o ponto P(x,y) está na origem O(0,0).