Cálculo Diferencial e Integral V

Curso Engenharia Civil.

Aluno(a):

Cálculo Diferencial e Integral V

(2 pontos, entrega 01/10/14)

1) Identifique a equação diferencial como sendo linear ou separável e encontre a solução geral das equações dadas.

1.1) [pic 1]                                               1.2) [pic 2]

2) Mostre que a equação diferencial [pic 3] é homogênea e encontre a solução particular.

3) Determinar se a equação diferencial [pic 4] é exata ou redutível a exata, se for resolver pelo método indicado.

4) Resolva a equação diferencial de Bernoulli: [pic 5].

5) Em um circuito em série contendo somente um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff diz que a soma da queda de tensão no indutor [pic 6] e da queda de tensão no resistor (iR) é igual a voltagem (E(t)) no circuito, ou seja: [pic 7], onde i(t) é a corrente no circuito; L e R são constantes conhecidas como indutância e resistência, respectivamente. Considere então a seguinte situação: Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância (L) é de [pic 8] Henry e resistência (R), 10 ohms. Determine a corrente i, se a corrente inicial é zero.

6) A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto  é proporcional a diferença entre sua temperatura e a temperatura do meio ambiente. Suponha que um cômodo seja mantido a uma temperatura constante de 22º e que um objeto neste cômodo leve 45 minutos para esfriar de 150º a 50º. Quanto tempo vai levar para este objeto atingir a temperatura de 27º?

7) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem inicialmente 50 miligramas de material e se, após 2 horas, o material perdeu 10% de sua quantidade original (ou seja, perdeu 5 miligramas), determine:

a) a expressão da quantidade remanescente em um instante arbitrário t;

b) a quantidade de material remanescente após 4 horas;

c) o tempo após o qual o material perde metade de sua massa original, ou seja, determine a meia vida do material;

a) Seja N a quantidade de material presente no instante t. Então kN

dt

dN

= . Esta equação diferencial é

linear e separável e sua solução, conforme apresentada anteriormente, é dada por: .

( ) . k t N t c e = .

Em t = 0, temos N(0) = 50.

Desta forma,

. . ( ) . 50 . 50 k t k t N t c e c e c = ⇒ = ⇒ =

Portanto, .

( ) 50. k t N t e = .

Em t = 2, houve perda de 10% da massa original de 50 mg, ou seja, 5 mg. Logo, em t = 2, N(2) = 45.

Levando estes valores na equação encontrada, temos:

. 2. ( ) 50. 45 50. k t k N t e e = ⇒ =

Resolvendo esta equação encontramos o valor de k ≅ - 0,0527.

Observação: Para resolver esta equação utilizamos as propriedades dos logaritmos naturais.

Assim, nossa equação com as duas constantes encontradas fica: 0,0527 ( ) 50 t N t e−

= ⋅ , onde t é medido

em horas.

b) Neste item precisamos encontrar o valor de N para t = 4. Basta substituir na equação encontrada e

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