Esboço de gráficos

Esboço de gráficos:

Para esboçar o gráfico de uma função deve-se sempre que possível seguir as seguintes

etapas:

• Indicar o domínio;

• Determinar os zeros (caso existam);

• Estudar a paridade;

• Estudar a continuidade;

• Identificar as assímptotas;

• Estudar a monotonia e indicar os extremos relativos;

• Determinar o sentido das concavidadesdo gráfico e indicar os pontos de

inflexão.

• Depois destas “etapas cumpridas” tenta-se esboçar o gráfico, indicando por

último o contradomínio.

Exercício:

Considere a função definida por:

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

≠ + +

=

−

0 0

0 1

1

x se

x se e x

x f

x

1) Faça o estudo da função referindo os seguintes aspectos:

a) Domínio

b) Paridade

c) Continuidade

d) Assímptotas

e) Pontos críticos

f) Extremos relativos

g) Intervalos de monotonia

h) Pontos de inflexão e

i) Concavidades

2) Faça um esboço do gráfico de f .

3) Indique o contradomínio de f .

Resolução:

a)

1. Domínio: IR

Capítulo V: Derivação 138

2. Paridade:

() () 0 1

1

≠ ∀ ≠ + − = − x x f e x x f

x

() () 0 1

1

≠ ∀ − ≠ + − = − x x f e x x f

x

f não é par nem ímpar.

3. Continuidade

Se 0 ≠ x , f é continua porque é soma de uma função polinomial x + 1 com a

função

x

e

1

−

sendo que esta é a composta da função exponencial com uma função

racional,

x

1

− .

Se 0 = x então +∞ = ∞ + =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ +

−

→−

1 1 lim

1

0

x

x

e x e 1 0 1 1 lim

1

0

= + =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ +

−

→+

x

x

e x .

Como ( )()x f x f

x x

+ − → →

≠

0 0

lim lim , f é descontínua em 0 = x .

Conclusão: f é contínua em {} 0 \ IR .

4. Assímptotas:

• Assímptotas verticais:

Pontos onde pode existir assímptotas verticais: 0 = x .

Já vimos que:

+∞ = ∞ + =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+ +

−

→−

1 1 lim

1

0

x

x

e x ; 1 0 1 1 lim

1

0

= + =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛