Harmnss

Em matemática, a série harmónica é a série infinita definida como:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} =

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} +

\cdots

O nome harmónica é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música)).

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme1 ) faz-se tendo em conta que a série

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \! =

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \cdots

é termo a termo maior que ou igual à série

\sum_{k=1}^\infty 2^{-\lceil \log_2 k \rceil} \! =

1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right]

+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \frac{1}{16}\cdots

= \quad\ 1 +\ \frac{1}{2}\ +\ \quad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

que claramente diverge.

Índice [esconder]

1 Curiosidades

2 Soma dos primos recíprocos

3 Série harmônica alternada

4 Série divergente

5 Referências

6 Ver também

Curiosidades[editar | editar código-fonte]

O fato da série harmônica ser divergente é notável e jamais seria descoberto por meios experimentais (somar um número considerável de partes e observar a tendência). Foi umas das primeiras séries a se descobrir em que o termo geral pode tender a zero sem que a série seja convergente. Isso ocorreu por volta do século XIV e a descoberta foi feita por Oresme. Se fôssemos capazes de somar cada termo da série em um segundo, como um ano tem aproximadamente 31.557.600 segundos, nesse período de tempo teríamos somado os 31.557.600 primeiros termos, obtendo como resultado um valor um pouco superior a 17; em 10 anos a soma chegaria a pouco mais de 20; em 100 anos a pouco mais de 22. Como se vê, esses números são muito pequenos para indicar que a soma é divergente (tende a infinito). Mas não paremos por aqui. Suponha que exista um computador que pode fazer uma soma em 10−23 segundos, que é o tempo gasto pela luz para percorrer a distância igual ao diâmetro de um elétron. Tal computador seria o mais rápido do universo, pois a velocidade da luz é a máxima neste. Se tal computador fosse somar todas as partes que pudesse da série harmônica em um ano, teria somado 315.576x1025 termos; em mil anos 315.576x1028; e em um bilhão de anos 315.576x1034 termos! Os resultados aproximados que obteríamos, em cada um dos casos, respectivamente seria: 70,804 ; 77,712 e 91,527. Imagine agora que esse computador estivesse