Integrais indefinidas

Aula 15

Integrais inde¯nidas

15.1 Antiderivadas

Sendo f(x) e F(x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que

F ¶e uma antiderivada ou uma primitiva de f, em I, se F0

(x) = f(x)

para todo x 2 I.

Ou seja, F ¶e antiderivada ou primitiva de f se F Integrais indefinidas 128

3. R sen x dx = ¡ cos x + C.

4. R cos x dx = sen x + C.

5. R ex dx = ex + C.

6. R ax dx = ax

ln a

(a > 0; a 6= 1).

7. R sec2 x dx = tg x + C.

8. R cosec2 x dx = ¡ cotg x + C.

9. R sec x ¢ tg x dx = sec x + C.

10. R cosec x ¢ cotg x dx = ¡ cosec x + C.

11. Z 1

1 + x2 dx = arc tg x + C.

12. Z 1

p1 ¡ x2

= arc sen x + C.

Para a dedu»c~ao das integrais acima, basta veri¯car que a derivada do segundo

membro, em cada igualdade, ¶e a fun»c~ao que se encontra sob o sinal de integra»c~ao.

Como exemplos,

se ® 6= ¡1,

µ x®+1

® + 1¶0

= (® + 1) ¢

x®+1¡1

® + 1 = x®.

(ln jxj)0 = 1=x:

se x > 0, (ln jxj)0 = (ln x)0 = 1=x;

se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 = 1

¡x ¢ (¡x)

0 = 1=x.

(ax)0 = ax ¢ ln a, logo µ ax

ln a

¶0

= ax ln a

ln a = ax.

15.3 Manipula»c~oes elementares de integrais

Suponhamos R f(x) dx = F(x) + C1, e R g(x) dx = G(x) + C2. Ent~ao

1. [F(x) + G(x)]0 = F0

(x) + G0

(x) = f(x) + g(x), logo

R

(f(x)+g(x)) dx = F(x)+G(x)+C = R f(x) dx+R g(x) dx (C = C1+C2).

2. Sendo k uma constante real, [k ¢ F(x)]0 = k ¢ F0

(x) = k ¢ f(x), logo

R kf(x) dx = kF(x) + C = k

R f(x) dx (kC1 = C)Integrais indefinidas 129

Reunimos os fatos acima, com outros tamb¶em ¶uteis, na seguinte proposi»c~ao.