Interpolação

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2. Aplicação do Matlab

à Resolução de Problemas

Neste capítulo mostram-se as potencialidades do Matlab para resolver alguns

problemas concretos.

Destacam-se sobretudo as suas capacidades de cálculo numérico e gráficos.

2.1. Estudo de Polinómios

Nesta parte aborda-se o uso do Matlab ao estudo de polinómios. A saber referem-se as seguinte

funções do Matlab:

! conv Produto de dois polinómios

! deconv Divisão de dois polinómios

! polyval Calcula o valor de um polinómio y=f(x) dado o valor de x

! roots Raízes de um polinómio

! poly Calcula um polinómio dadas as suas raízes

! polyder Calcula a derivada de um polinómio

Na introdução teórica referiram-se como aspectos interessantes sobre este assunto algumas

operações polinomiais, determinação de raízes e cálculo de polinómios conhecidas as suas raízes.

Aborda-se agora como o uso do Matlab pode ser útil nestes casos.

2.1.1 Definição de um polinómio

Um polinómio é definido em Matlab à custa de um vector, cujos valores são os coeficientes do

polinómio ordenado por ordem decrescente das suas potências. Por exemplo o polinómio

2.1 Estudo de polinómios

Matlab: Ferramenta de simulação computacional e cálculo numérico 51

f(x) = x2 + x - 6

é definido como,

>> polinomio = [ 1 1 -6]

Mais exemplos

f(x) = x2 – 6

>> polinomio = [ 1 0 -6]

f(x) = x3 - x

>> polinomio = [ 1 0 -1 0 ]

f(x) = x4 - x3 - 2 x2 + 3

>> polinomio = [ 1 -1 -2 0 3 ]

2.1.2 Cálculo de valores de polinómios

Existem duas formas de calcular o valor de um polinómio: ‘escrevendo’ directamente o

polinómio ou usando a função polyval. Da primeira forma procede-se como se indica. Seja o

polinómio

f(x) = x4 - 3x3 - 2 x2 + 3

O valor de f(x=4) pode-se calcular como

>> x = 4;

>> f4 = x^4 - 3*x^3 - 2*x^2 + 3

>> f4 = 35.0

Pode-se calcular de uma só vez o valor para um conjunto de valores (vector neste caso).

2.1 Estudo de polinómios

Matlab: Ferramenta de simulação computacional e cálculo numérico 52

>> w = 0:1:10;

>> f = w.^4 - 3*w^3 - 2*w.^2 + 3

Usando a função polyval

y = polyval( polinomio, x)

é possível calcular o valor de polinómio (pol) no ponto x. Para o exemplo em questão

>> x = 4

>> pol = [ 1 -3 -2 0 3 ]

>> f4 = polyval( pol, x)

>> f4 = 35.0

>> w = 0:1:10;

>> f = polyval( pol, w)

Portanto quando x é um escalar polyval devolve um escalar, quando w é um vector devolve um

vector.

1.1.3 - Operações aritméticas

A adição consiste em somar simplesmente dois vectores. Por exemplo pretende-se somar os dois

seguintes vectores

f(x) = x4 - 3 x2 - x + 2 g(x) = 4 x3 - 2 x2 + 5 x - 16

A sua soma s(x) = f(x) + g(x) é calculada como se indica,

>> f = [ 1 0 -3 -1 2 ]

>> g = [ 0 4 -2 5 -16 ]

>> s = f + g

>> s = [ 1 4 -5 4 -14 ]

O polinómio calculado é s(x) = x4 + 4 x4 - 5 x2 + 4 x - 14

2.1 Estudo de polinómios

Matlab: Ferramenta de simulação computacional e cálculo numérico 53

Multiplicação por um escalar

A multiplicação de um polinómio por um escalar obtém-se simplesmente pela multiplicação de

um vector (que define o polinómio) por um escalar. Seja o polinómio s(x) = 3*f(x), em que f(x) é

o polinómio definido acima então,

>> f = [ 1 0 -3 -1 2 ]

>> s = 3*f

>> s = [ 3 0 -9 -3 6 ]

Portanto s(x) = 3 x4 - 9 x2 - 3 x + 6

Multiplicação de dois polinómios

A multiplicação de dois polinómios é conseguida usando a função conv. Por exemplo pretendese

multiplicar os polinómios f(x) e g(x)

f(x) = x2 - x + 2 g(x) = 5 x - 16

>> f = [ 1 -1 2 ]

>> g = [ 5 -16 ]

>> s = conv( f, g)

>> s = [ 5 -17 -6 -32 ]

Seria o mesmo que s(x) = 5 x3 - 17 x2 - 6 x – 32

Divisão