MAXIMOS E MINIMOS: PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Por: Rodrigo Martins • 23/2/2016 • Trabalho acadêmico • 923 Palavras (4 Páginas) • 737 Visualizações
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
CURSO DE TECNOLOGIA EM TELEMÁTICA
RODRIGO DE OLIVEIRA MARTINS
MAXIMOS E MÍNIMOS
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
TRABALHO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TAUÁ
2015.1
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Para determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função é necessário encontrar a derivada primeira da função e iguala-la à zero. Observe alguns exemplos.
DEFINIÇÕES Seja uma função de domínio . Então, tem um valor máximo absoluto em no ponto se[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5] para qualquer em .[pic 6][pic 7][pic 8] e um valor mínimo absoluto em no ponto se[pic 9][pic 10] para qualquer em .[pic 11][pic 12][pic 13] |
Exemplo 1
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[pic 18][pic 19][pic 17]
[pic 21][pic 20]
Para verificar o ponto crítico, pegue um valor anterior e um posterior a ele. Aplique-os na derivada da função, substituindo por . Se o resultado for > 0 o ponto é crescente, se for < 0 é decrescente. Com isso é possível verificar o ponto crítico. Neste caso, usaremos 0 e 20.[pic 22]
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[pic 24]
[pic 25]
Por fim, substituímos o pelo ponto crítico na função:[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29][pic 30]
No caso do Exemplo 1, podemos dizer que no ponto 10 a função assume seu máximo. Nesses casos, é dado o nome de máximo global(Figura 1).
Exemplo 2
A partir da função:
[pic 31]
[pic 32]
[pic 33]
Equação de 2º
Usaremos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa função:
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[pic 36]
[pic 37]
Com isso, são dados os pontos críticos: [pic 38]
Escolhemos um ponto anterior, um posterior e um ponto entre eles:
[pic 39][pic 40]
Para encontrar o sinal, ou seja, descobrir se o ponto é decrescente ou crescente, aplicamos os pontos na derivada da função, como no Exemplo 1.
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[pic 45][pic 46]
Vamos verificar os pontos críticos aplicando-os na função original:
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[pic 49]
[pic 50][pic 51]
Sendo assim, podemos concluir que no intervalo fechado [ -2 , 4 ], a função assume um valor máximo relativo em -1 e um valor mínimo relativo em 3 (Figura 3).[pic 52]
Exemplo 3
Da mesma forma, vejamos este outro exemplo.
[pic 53]
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Pontos críticos: [pic 59]
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Podemos concluir, a partir dos exemplos anteriores, que apenas os pontos críticos e as extremidades podem assumir valores extremos. Porém, uma função pode apresentar um ponto crítico em sem um valor extremo local nesse ponto. Vamos analisar a demonstração gráfica das funções e .[pic 74][pic 75][pic 76]
[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]
Ambas as funções apresentam um ponto crítico e um valor zero, mas cada função é positiva a direita da origem e negativa a esquerda. Sendo assim, nenhuma delas apresenta valor extremo local na origem. Ao invés disso, existe um ponto de inflexão.
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
A partir de agora, veremos a aplicação prática dos exemplos anteriores, envolvendo máximos e mínimos.
Diversos problemas corriqueiros, onde sentimos a necessidade de maximizar o trabalho minimizando os custos, por exemplo, podem ser resolvidos aplicando esse método. Usaremos formas geométricas para aplicar as demonstrações, e, para tal, é necessário que saibamos as fórmulas de área e volume (Figura 9).
Fórmulas Geométricas
[pic 81][pic 82]
Exemplo 1
Um terreno retangular de 50m² de área deve ser cercado, sendo que, um lado do terreno já possui proteção, quais as dimensões que a cerca de menor comprimento deverá ter?
Solução
Façamos um esboço (Figura 10):
[pic 84][pic 85][pic 83]
[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]
Usaremos para o comprimento da cerca.[pic 89]
[pic 90]
à restrição
[pic 91]
Utilizando , podemos escrever como uma função apenas de e derivá-la, igualando aos passos feitos nos exemplos anteriores de máximos e mínimos.[pic 92][pic 93][pic 94]
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