Mecanica

Equação da Continuidade (Conservação de Massa)

Assuma uma unidade de volume (VC- volume controle)  e um sistema de coordenadas. Assuma q (1) Δx, Δy e Δz são os lados do VC, (2) tem água dentro do VC e que (3) a água pode se mover para dentro e para fora do VC através de sua superfície.

Seja Qx o fluxo de água se movendo para dentro do VC na direção X (através do plano ΔyΔz onde X=x). Do mesmo modo, seja Qy+Δy o fluxo de água para fora do VC na direção Y (através do plano ΔxΔz onde Y=y+Δy). A unidade do fluxo de água é m s-2.

Como o “total de massa de água tem que se conservar” a soma inicial  da massa de água (Mi) no VC com a massa de água que se moveu para o VC através de suas superfícies tem que ser igual a soma da massa de  água q ficou no VC com a massa de água que se moveu para fora do VC através da suas superfícies.

Então, para um pequeno tempo Δt, a equação abaixo deve ser satisfeita.

Mi+Qx ΔyΔz Δt ρ + Qy ΔxΔz Δt ρ + Qz ΔxΔy Δt ρ =

        Mf + Qx+Δx ΔyΔz Δt ρ + Qy+Δy ΔxΔz Δt ρ + Qz+Δz ΔxΔy Δt ρ 

ρ = densidade da água

Rearranjando a equação acima:

(Mf-Mi) + (Qx+Δx-Qx) ΔyΔz Δt ρ + (Qy+Δy-Qy) ΔxΔz Δt ρ + (Qz+Δz-Qz) ΔxΔy Δt ρ = 0

Se ΔV = ΔxΔyΔz  e dividindo todos os termos por  ΔxΔy ΔzΔt ρ, então,

{[(Mf/ΔVρ)-(Mi/ΔVρ)]//Δt} + (Qx+Δx-Qx)/ Δx + (Qy+Δy-Qy)/ Δy +(Qz+Δz-Qz)/ Δz = 0

Por definição, ρ = M/V.  Então, Mf/ΔVρ = Vf/ΔV

A umidade volumétrica é definida como: Θ = vol de água no VC/vol do VC.

(Θf - Θi)/ Δt + ΔQx/Δx + ΔQy/Δy + ΔQz/Δz = 0

Se ΔxΔyΔz  e Δt tendem a 0 então a diferença finita se tornará a diferencial parcial conhecida como a equação da continuidade ou de conservação de massa.

∂Θ/∂t + ∂Qx/∂x + ∂Qy/∂y + ∂Qz/∂z = 0   ou

∂Θ/∂t = - ∇ Q

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dΘ/dt = -dq/dS;      ΔΘ/Δt = -Δq/ΔS;    ΔΘ ΔS /Δt = -Δq

Δhi/Δt = -(qi-qn-1)

Para o comprimento S teríamos:

ΔhS/Δt = 1/Δt  Σ Δhi = - Σ (qi – qi-1)

Para todo S

Σ (qi – qi-1) = (qn – q0), então ΔhS/Δt = - (qn – q0)

Exemplo: pg 288 (Libardi)

Prof, m	Θ (m3m-3)       Dia 3	Θ (m3m-3)       Dia 5
0,2	0,40	0,25
0,4	0,38	0,26
0,6	0,35	0,26
0,8	0,31	0,18
1,0	0,35	0,15

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