Movimento em 3 dimensões e movimentos dependentes

Movimento em 3 dimensões e movimentos dependentes

Quando um objeto se desloca no espaço sem seguir uma trajetória determinada, a sua posição já não pode ser definida com uma única variável como nos exemplos estudados no capítulo anterior. No século XVII, o matemático Gottfried Leibniz escreveu que seria desejável criar uma área da matemática que descrevesse a posição diretamente, assim como as variáveis são usadas na álgebra para representar valores numéricos. Na mesma época, Isaac Newton enunciou a lei do paralelogramo para somar forças. No entanto, o conceito de vetor que conhecemos hoje em dia só foi inventado muitos anos depois, no século XIX.

2.1. Vetores

Uma grandeza que tenha o mesmo valor independentemente do observador que as medir, chama-se escalar. Algumas das grandezas usadas no capítulo anterior são escalares; por exemplo, a distância percorrida s e o intervalo de tempo Δt entre dois eventos. Alguns exemplos de grandezas físicas que não são escalares são as componentes da posição, velocidade e aceleração ao longo de um eixo. Se a direção, o sentido ou a origem desse eixo fossem alteradas, os valores dessas grandezas seriam diferentes. É útil escrever as equações da física de forma a que sejam iguais em qualquer referencial; o conceito de vetor ajuda a conseguir esse objetivo.

2.1.1 Deslocamento e vetor posição

Um vetor é um segmento de reta entre dois pontos P1 e P2 no espaço, em que um dos pontos é considerado a origem e o outro ponto o fim do segmento.

Por exemplo, na figura está representado o vector com origem num ponto P1 e fim num ponto P2; a seta indica qual é o ponto final e por cima da letra usada para representar o vetor coloca-se também uma seta, a⃗ , para que fique claro que se trata de um vetor e não de uma variável algébrica comum.

Vetores livres.

Um vetor representa um deslocamento desde um ponto do espaço até outro ponto. A distância entre os dois pontos chama-se módulo, ou norma do vetor. No caso de um vetor a⃗ , o seu módulo representa-se com a mesma letra a, mas sem seta. Como a distância entre dois pontos é um escalar, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar. Um vetor tem também uma direção, definida pela reta que passa pelos dois pontos, e um sentido, que vai desde o ponto inicial para o ponto final.

Dois vetores são iguais se, e só se, a suas direções, sentidos e módulos forem iguais. Por exemplo, na figura o vetor entre os pontos P1 e P2 e o vetor entre os pontos P3 e P4 são iguais e, por isso, foram identificados com a mesma letra a⃗ ; a distância entre P3 e P4 é igual à distância entre P1 e P2 e as retas que passam por esses dois pares de pontos são paralelas. O vetor b⃗ , entre os pontos P5 e P6, não é igual a a⃗ porque tem módulo e direção diferentes. Esse tipo de vetores são chamados vetores livres porque não interessam os pontos específicos onde forem colocados, sempre que a distância entre eles for igual ao módulo e definam corretamente a direção e sentido do vetor.

Soma de vetores.

Na figura, partindo do ponto P o vetor a⃗ produz um deslocamento até o ponto Q; a seguir, o vetor b⃗ provocará um deslocamento até o ponto R; assim sendo, o deslocamento combinado de a⃗ e b⃗ é equivalente ao deslocamento desde P até R, representado na figura pelo vetor c⃗ . Diz-se que c⃗ é igual à soma dos vetores a⃗ e b⃗

a⃗ +b⃗ =c⃗

Ou seja, a adição de dois vetores consiste em deslocar um deles de forma que o seu ponto inicial coincida com o ponto final do primeiro, obtendo-se como resultado o vetor que vai desde o ponto inicial do primeiro vetor até o ponto final do segundo.

A equação a⃗ +b⃗ =c⃗ implica que b⃗ =c⃗ −a⃗ e a figura também mostra que o vetor b⃗ vai desde o ponto final de a⃗ até o ponto final de c⃗ , quando os dois vetores estão no mesmo ponto inicial. Portanto, para subtrair dois vetores podem ser deslocados para um ponto inicial comum e o resultado da subtração será o vetor que vai desde o ponto final do segundo vetor, até o ponto final do primeiro vetor.

Regra do paralelogramo para somar vetores.

A adição de vetores é comutativa; deslocar o vetor b⃗ a continuação do vetor a⃗ produz o mesmo resultado do que deslocar o vetor a⃗ a continuação do vetor b⃗ (figura). A soma dos vetores a⃗ e b⃗ é a diagonal do paralelogramo em que dois dos lados são iguais a a⃗ e os outros dois lados são iguais a b⃗ . A soma de vários vetores também verifica a propriedade associativa.

A soma de um vetor com si próprio a⃗ +a⃗ =a⃗ produz um vetor com a mesma direção e o mesmo sentido, mas com módulo duas vezes maior. Generalizando esse resultado, o produto de um escalar k e um vetor a⃗ será um vetor com a mesma direção de a⃗ mas com módulo igual a |k|a. O sentido de ka⃗ será o mesmo de a⃗ , se k for positivo, ou oposto se k for negativo. Costuma escrever-se primeiro o escalar e a seguir o vetor, mas o produto de escalar e vetor é comutativo. Se k for igual a zero, ka⃗ será o vetor nulo 0⃗ , ou seja, um vetor com o mesmo ponto inicial e final.

Versor e⃗ a associado ao vetor a⃗ .

Usando o produto de escalar por vetor, qualquer vetor a⃗ pode ser obtido pelo produto ae⃗ a, em e⃗ a é um vetor de módulo unitário, com a mesma direção e sentido de a⃗ (figura ). Esse vetor unitário, com a mesma direção e sentido de a⃗ , chama-se o versor de a⃗ . Neste livro será usado sempre um e minúsculo para representar versores.

No capítulo anterior foi dito que a posição de um ponto P no espaço é dada por três coordenadas definidas em algum sistema de coordenadas e foram introduzidas as coordenadas cartesianas. A figura mostra as coordenadas cartesianas (xP, yP, zP) de um ponto P.

Coordenadas cartesianas de um ponto P e versores cartesianos.

Existem duas formas de definir os sentidos positivos dos três eixos x, y e z; é habitual definir esses sentidos positivos seguindo a regra da mão direita: fechando o punho direito, esticam-se os dedos maior, indicador e polegar, de forma a formar ângulos retos entre si; o indicador apontará no sentido do eixo dos x, o dedo maior no sentido do eixo dos y e o polegar no sentido do eixo dos z.