NOTAS DE DERIVADA

CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA DE NITERÓI – UNIAN

Cálculo I – Derivadas

Notas de aula

Prof.: Adilson G. Principe

1. DERIVADA DE UM PONTO/TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

[pic 1]

2. TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA e VARIAÇAO ABSOLUTA

A taxa de variação média de uma função em um intervalo não é igual à sua variação absoluta. A variação absoluta é simplesmente a diferença dos valores de f nas extremidades do intervalo.  Logo a taxa de variação média é a variação absoluta dividida pelo tamanho do intervalo.

3.TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA: A DERIVADA

Definimos a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto da mesma forma que definimos a velocidade instantânea: consideramos a taxa de variação média em intervalos cada vez menores. Essa taxa de variação instantânea é chamada de derivada de f em a e denotada por f’(a).

[pic 2]

EXERCICIOS:

1. A figura mostra o gráfico de f. Associe as derivadas na tabela com os pontos a,b,c,d,e.

                                                   [pic 3]                                                                                               

	F’(x)	x
a	0
b	0,5
c	2
d	-0,5
e	-2

2) A figura mostra o gráfico de y = f(x). Em cada um dos pares a seguir, qual é o maior:

[pic 4]

a) a taxa de variação média entre x = 1 e x = 3 ou entre x = 3 e x = 5?

b) f(2) ou f(5)?

c) f(1) ou f(4)?

3. Encontre as derivadas das funções abaixo:

a) f(x) = 5x2 para x = 10

b) f(x) = x3 em x = -2

c) g(t) = 3t2 + 5t em t = 13

d) f(x) = x3 + 5 em x = 1

e) g(x) = x-2, encontre g’(2)

4. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto dado

a) f(x) = 5x3 em x = 10

b) f(x) = x em x = 20

c) f(x) = x3 em x = -2

d) f(x) =   em (1,1)[pic 5]

Respostas:

1) a) d  b) b  c) c  d) a  e)  c

2) a) x =1 e x=3;  b) f(5)   c)  f(1)

3) a) 100; b) 12;  c) 83;  d) 3;  e) -1/4

4) a) 300x – y + 2000 + 0     b) x = y     c)  12x – y + 16 = 0    d) 2x + y – 3 = 0

4. O QUE O GRÁFICO DA DERIVADA NOS INFORMA :

• Para f’ positiva, a reta tangente ao gráfico de f está subindo
• Para f’ negativa a reta tangente ao gráfico está descendo
• Se c = 0 em toda a parte, então a reta tangente ao gráfico de f é horizontal em todo os pontos e f é constante.

Concluimos que:

• Se f’ em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo[pic 6]
• Se f’ em um intervalo então f é decrescente nesse intervalo[pic 7]

5. A DERIVADA SEGUNDA

Como a derivada é uma função podemos considerar sua derivada. Para uma função f, a derivada de sua derivada é chamada de derivada segunda e denotada por f’’ e pode ser denotada também por   o que significa [pic 8][pic 9]