O CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Por: Thiago Leonel • 7/3/2020 • Trabalho acadêmico • 2.208 Palavras (9 Páginas) • 565 Visualizações
[pic 1]
TAREFA AV1 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aluno: Thiago Leonel Farias. Matrícula: 20181301247
Prof.: Luciana Antunes Rios.
- Integrais triplas
1ª questão:
Calcular a integral tripla:
∭(y+x²)zdV
sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo:
1≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1,−3 ≤ z≤ 5.
ʃ² dx ʃ ¹ dy ʃ5 dz (y+x²) zdv v= a*b*c
1 0 -3
V= (5+(-3)) *1*1
ʃ² dx ʃ ¹ dy ʃ5 (y+x²)zdz v= (5-3)*1
1 0 -3 v= 2
ʃ² dx ʃ ¹ (y+x²) dy ʃ5 zdz
1 0 -3
Z² ]5 5² - (-3)² = 25 – (9) = 8
2 -3 = 2 2 2 2
ʃ² dx ʃ ¹ (y+x²) * (8)dy
1 0
ʃ² (8) * (y+x²) =
1
ʃ² 8y + 8x²=
1
ʃ² 8x²dx ʃ ¹ 8y dy
1 0
8y² ]¹ = 1² - (0)² = 1
2 0 2 2 2
ʃ² 8x²dx 1
1 2
8*(1) ʃ² x²dx = 8 = 4x³ ]² = 4 [ 2³ - 1³ ]=
2 1 2 3 1 3 3
[pic 2]
4[ 8 – 1 ] = 4[ 7 ] = 4 * 7 = 28 = 9,33
3 3 3 3 3
2ª questão:
Calcular a integral:
∭(x²+y²)dV,
em que T é a região de integração interior ao cilindro x²+y²= 1 e à esfera x²+y²+z²= 4 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais simplifica a resolução).
(x,y,z) (r,θ,z) dv= rdz dr dθ[pic 3]
X²+y²+z² = 4 x= rcos θ
Z² = 4-x2-y² y=rsen θ
0< r < 1 r= x² +y²[pic 4][pic 5][pic 6]
0< θ < 2¶ r²= x²+y²
0< z < - 2r
X= rcos θ[pic 7]
Dv=rdz dr dθ
ʃ¹ ʃ²¶ ʃ-2r * (rcosθ)² + (rsenθ)² * r dz dθ dr
0 0 0
ʃ¹ ʃ²¶ ʃ-2r * r²cos²θ + r²sen²θ * r dz dθ dr
0 0 0
ʃ¹ 2r³ dr ʃ²¶ cos² θ + sen²θ dθ ʃ-2rdz
0 0 0
ʃ-2rdz = [z]-2r
0 0
[-2r -0]
ʃ¹ 2r³ dr ʃ²¶ cos² θ + sen²θ dθ [ -2r - 0]
0 0
-2 ʃ¹ r4 dr ʃ²¶ cos² θ + sen²θ dθ
0 0
[pic 8][pic 9]
Cos² θ= 1+cos2θ sen² θ= 1- cos2θ
2 2
ʃ²¶ 1+cos2θ + sen² θ= 1- cos2θ dθ
0 2 2
ʃ²¶ 1+1= 1
0 2 2
ʃ²¶ 1dθ ʃ²¶ cos2θ - cos2θ dθ
0 0 2 2
[pic 10][pic 11]
1+1= 1 ʃ²¶ dθ+1 ʃ²¶ cos(2θ) – cos(2θ) dθ
2 2 0 0
dθ+1 ]²¶ = 1(2¶) – 1(0) = 2¶
0
-2*2¶ ʃ1 r4dr = -2*2¶ r4+1 ]1 = -2*2¶ r5 = - 4¶ r5 ]1
...