O teorema do triângulo rectângulo (teorema de Pitágoras)

Teorema de Pitágoras

Conta a lenda que Pitágoras, ao olhar para o chão onde apareciam desenhos verificou, por composição e decomposição de figuras, uma propriedade de todos os triângulos rectângulos:

A área de um quadrado construído sobre a hipotenusa (lado oposto ao ângulo recto) de um triângulo rectângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (os outros dois lados).

Desta relação surgiu o Teorema de Pitágoras tal como o conhecemos hoje:

Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Actualmente, são conhecidas várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Aquela que se pensa ter sido a demonstração original (ou uma delas) é a seguinte:

Temos dois quadrados iguais de lado a+b.

Todos os triângulos rectângulos marcados em ambos os quadrados são iguais (a e b são os seus catetos e c a hipotenusa).

O primeiro quadrado é formado por quatro triângulos e por um quadrado de lado c, pelo que a sua área é

c2 + 4(ab/2) = c2 + 2ab.

O segundo quadrado é formado por dois quadrados de lados a e b e por quatro triângulos. Logo, a sua área é dada por

a2 + b2 + 4(ab/2) = a2 + b2 + 2ab.

Igualando ambas as expressões, temos

c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab

ou seja, a2 + b2 = c2.

Para ver outras demonstrações do teorema de Pitágoras:

http://criar.no.sapo.pt/provas.htm

http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm

Biografia de Pitágoras

Pitágoras, matemático, filósofo, astrónomo, músico e místico grego, nasceu na ilha de Samos ( na actual Grécia ).

Pitágoras é uma figura extremamente importante no desenvolvimento da matemática, sendo frequentemente considerado como o primeiro matemático puro. No entanto, pouco se sabe sobre as suas realizações matemáticas pois não deixou obra escrita e, além disso, a sociedade que ele fundou e dirigiu tinha um carácter comunitário e secreto.

Essa sociedade, a Escola Pitagórica, de natureza científica e religiosa (e até mesmo política), desenvolvia estudos no domínio da matemática, da filosofia e da astronomia. O símbolo desta irmandade era a estrela de cinco pontas (ou estrela pentagonal).

A Escola Pitagórica defendia o princípio de que a origem de todas as coisas estava nos números, o atomismo numérico.

Ao longo da sua vida, Pitágoras viajou por vários países, tendo aprendido muitos conhecimentos matemáticos com os egípcios e os babilónios. Entre outros, dois filósofos com que Pitágoras estudou e que influenciaram as suas ideias matemáticas foram Tales de Mileto e o seu pupilo Anaximander.

No domínio da matemática, os estudos mais importantes atribuidos a Pitágoras são:

a descoberta dos irracionais ;

o teorema do triângulo rectângulo (Teorema de Pitágoras).

Apesar de actualmente sabermos que, cerca de mil anos antes, já eram conhecidos casos particulares deste teorema na Babilónia, no Egipto e na Índia, Pitágoras foi o primeiro a enunciar e demonstrar o teorema para todos os triângulos rectângulos.

São também atribuidos a Pitágoras (e aos pitagóricos) outros trabalhos matemáticos, que incluem:

a descoberta da tabuada ;

o estudo de propriedades dos números (dos números ímpares regulares, dos números triangulares, etc) ;

a construção dos primeiros três sólidos platónicos (é possível que tenha construído os outros dois) ;

a descoberta da relação existente entre a altura de um som e o comprimento da corda vibrante que o produz.

Não se sabe ao certo quando nasceu e morreu Pitágoras mas calcula-se que viveu uma longa vida (entre 80 a 100 anos), entre a primeira metade do século VI a.C. e o início do século V a. C.

Curiosidades de Pitágoras

Pitágoras e os pitagóricos foram os primeiros a estabelecer a demonstração com base num raciocínio dedutivo. A eles se deve também a palavra Matemática que para eles significava "ciência por excelência".

A Escola Pitagórica, fundada em Crotona, admitia pessoas de ambos os sexos. Aliás, Teano, a esposa de Pitágoras, foi provavelmente a primeira matemática da história.

No entanto, os membros desta irmandade estavam sujeitos a normas muito rigorosas pois tinham que viver castamente, seguir uma dieta rigorosa e manter uma atitude contida e sossegada. Era proibido o riso e deviam cultivar o hábito da autocrítica.Os alunos estavam divididos em dois grupos, os externos e os internos.

Só os alunos internos tinham contacto directo com Pitágoras. Os alunos externos viam Pitágoras apenas depois de quatro anos de curso, durante os quais recebiam as suas lições escritas e autenticadas com a fórmula "autos efa" que significa "o que ele disse", para dar a entender que