PONTOS MAXIMOS E MINIMOS
Por: Fabio Gean Ane • 3/5/2015 • Projeto de pesquisa • 3.292 Palavras (14 Páginas) • 772 Visualizações
FABIO GEAN CARDOSO REGO
DIONÍSIO CASTOR DE MELO CARDOSO
UM ESTUDO SOBRE MÁXIMO, MÍNIMO, PONTOS DE SELA E EXTREMOS CONDICIONADOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
MACAPÁ-AP
2015
FABIO GEAN CARDOSO REGO
DIONÍSIO CASTOR DE MELO CARDOSO
UM ESTUDO SOBRE MÁXIMO, MÍNIMO, PONTOS DE SELA E EXTREMOS CONDICIONADOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Trabalho apresentado como requisito parcial de avaliação à disciplina Cálculo III do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Amapá ministrada pelo Professor Esp. João Ferreira.
MACAPÁ-AP
2015
INTRODUÇÃO
O trabalho a seguir será explorado os conceitos ensinados durante as aulas de Cálculo III, referentes às funções de duas variáveis, e tem por objetivo determinar os pontos críticos de uma função polinomial com quatro pontos críticos e classificá-los por sua natureza, determinar o polinômio de Taylor para classificar seus pontos críticos, e determinar os valores extremos de uma função com restrição utilizando os multiplicadores de Lagrange, usando software como ferramenta para produzir os gráficos.
Capítulo 1 – Derivadas, Taylor e pontos extremantes
- A função escolhida é a seguinte:
[pic 1]
Esta função foi retirada da Apostila de Cálculo II, elaborada pelo prof. José Donizetti de Lima, em pdf na internet.
Fonte: http://www.pb.utfpr.edu.br/daysebatistus/maximos_minimos_donizetti.pdf
1.2 Vamos determinar os pontos críticos, e mostrar numa figura as curvas de níveis os pontos críticos, e classificar a natureza deles pelo desenho:
- Resolução:
Os pontos críticos de , são aquelas que anulam o seu gradiente, isto é:[pic 2]
[pic 3]
= [pic 4][pic 5]
= [pic 6][pic 7]
[pic 8][pic 9][pic 10]
[pic 11] [pic 12]
([pic 13][pic 14]
Resolvemos o sistema:
[pic 15]
[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]
Da equação [pic 24], segue que x = {1,-1}.
Agora da equação [pic 25], segue que y = {1,-1}.
A solução do sistema é o conjunto S: {(1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1)}
Fazendo P1=(1,1), P2=(1,-1), P3=(-1,1) e P4=(-1,-1)
Vamos ver se os pontos anulam o seu gradiente, se isso acontecer é porque são pontos críticos.
([pic 26][pic 27]
- Para P1 = (1,1), temos:
= = ([pic 28][pic 29][pic 30]
=(6-6, 6-6) = (0,0)
Logo P1 é um ponto critico.
- Para P2 = (1,-1), temos:
==[pic 31][pic 32][pic 33]
= (6-6, 6-6) =(0,0)
Logo P2 é um ponto critico.
- Para P3 = (), temos:[pic 34]
==[pic 35][pic 36][pic 37]
=(6-6, 6-6)=(0,0)
Logo P3 é um ponto critico.
- Para P4 = (-1,-1), temos:
== [pic 38][pic 39][pic 40]
=(6-6, 6-6) = (0,0)
Logo P4 é um ponto critico.
A Figura 1 apresenta os cálculos utilizando o site Wolfram|Alpha:
[pic 41]
Figura 1. Máximos, mínimos e pontos de sela (inflexão)
Fonte: http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=4b5e2dad1aaea05fb70906d95bf4295c
Logo mais, a Figura 2 apresenta o gráfico da função utilizando também o site Wolfram|Alpha:
[pic 42]
Figura 2. Gráfico em 3D
Fonte: http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=4b5e2dad1aaea05fb70906d95bf4295c
1.2.1. Conclusão: Todos os pares ordenados do conjunto são pontos críticos da função [pic 43]
1.2.2 Valor numérico ou valor crítico.
Vamos calcular o valor numérico de cada ponto critico.
[pic 44]
= = [pic 45][pic 46][pic 47]
= = [pic 48][pic 49][pic 50]
= = [pic 51][pic 52][pic 53]
= = [pic 54][pic 55][pic 56]
1.2.3 Curvas de nível
No Cálculo, curvas de nível possibilitam estudar os gráficos em 3D, encontrando intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos, no plano do papel.
Classificação da natureza dos pontos:
P1=(1,1) é ponto mínimo
P2 =(1,-1) e P3= (-1,1) são pontos de sela.
P4= (-1,-1) é ponto de máximo local.
[pic 57]A Figura 3 a seguir, apresenta o gráfico da curva de nível utilizando o site Wolfram|Alpha:
Figura 3. Curva de Nível
Fonte: http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=4b5e2dad1aaea05fb70906d95bf4295c
Podemos observar na figura que o ponto mínimo está localizado na região mais escura da curva de nível, os pontos de sela estão na parte superior à esquerda e inferior à direita e o ponto máximo está na região mais clara na parte inferior à direita do gráfico.
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