Relatório Conceitos E Princípios Gerais Do cálculo Numérico

Relatório 1 – Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico.

O cálculo numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

O cálculo numérico compreende:

• A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações aritméticas;

• O desenvolvimento de uma sequência de operações aritméticas que levem as respostas numéricas desejadas;

• O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em escrever o método numérico como um programa de computador.

Espera-se que, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos.

Podemos dividir a Matemática em duas partes, o caçulo numérico e o cálculo algébrico. O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os números reais. O cálculo algébrico está diretamente ligado a expressões algébricas, envolvendo equações, inequações e sistemas de equações. Nele, todos os fundamentos fixados no cálculo numérico são utilizados.

Espaço vetorial – Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguintes elementos:

1º) Um corpo K, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, cujos elementos são chamados de escalares.

2º) Um conjunto V dotado de uma operação binária de VxV em V, os elementos de V serão chamados de vetores.

Espaço Vetorial Euclidiano – é qualquer espaço real que possui um número finito de dimensão e possui uma operação denominada produto interno.

Espaço Vetorial Normado – é qualquer espaço vetorial que possui norma definida.

Processo de Gram-Schmidt – é um método para ortogonalização de um conjunto de vetores em um espaço com produto interno, normalmente Rn . O processo recebe um conjunto finito, linearmente independente de vetores S= {V1, ..., Vn } e retorna um conjunto ortogonal S= {U1, ..., Un } que gera o mesmo espaço S inicial.

Projeção ortogonal - Projeção ortogonal é um conceito de grande importância para a álgebra linear e vital para as aplicações estatísticas porque permite obter um vetor que tem a menor distância de um vetor considerado, critério que serve de base para o método dos quadrados mínimos. A definição que segue é fundamental para que se possa obter uma base ortonormal a partir de uma base de um subespaço W⊆ℝn.

A projeção ortogonal de um vetor v→ sobre um vetor não nulo w→ é definida como:

w→1=projw→v→=〈v→,w→〉||w→||2⋅w→.

sendo 〈.〉 o produto interno e ||.|| a norma do vetor.

Autovalores e autovetores - É uma transformação especial T : V W.

(I) T(v) = v