A Introdução a Teoria de Probabilidades
Por: Mateus Matanopa • 15/5/2019 • Trabalho acadêmico • 1.452 Palavras (6 Páginas) • 243 Visualizações
Universidade Rovuma[pic 1]
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Índice[pic 6]
Introdução 3
1. Probabilidade condicional 4
1.1. Teorema do produto 4
2. Evento independente 5
3. Probabilidade total 6
4. Teorema de Bayer 8
Conclusão 10
Bibliografia 11
Introdução
O presente trabalho aborda sobre Introdução a Teoria de Probabilidade, Tendo como objectivos principais: Entender e saber aplicar a probabilidade condicional, Identificar acontecimentos independentes (evento independente), aplicar o conceito de probabilidade total e o teorema de Bayes. A Teoria de Probabilidades é um ramo da Matemática extremamente útil para o estudo e investigação das regularidades dos chamados fenómenos de um mero acaso, denominados aleatórios, neste trabalho tentaremos por meio dos objectivos traçados, explicar alguns conceitos introdutórios dessa área. Só para recordar que ao alcançarmos os objectivos estaremos a introduzir a teoria de probabilidade porque são estes os conceitos principais e fundamentais desse ramo da matemática.
- Probabilidade condicional
MARTINS (2005, p.155), “Seja um espaço de resultados e uma probabilidade nesse espaço. Dados dois acontecimentos e , com , define-se probabilidade condicional de se (ou probabilidade de condicional à ocorrência de ) como sendo: ”.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
Notamos que a definição apresenta a probabilidade condicional de A para B, se for ao contrario (probabilidade condicional de B para A), será dado por sendo, .[pic 17][pic 18]
Exemplo:
Na turma de matemática 3º ano, pretende-se escolhe ao acaso um ajunto chefe da turma, sabendo que a turma contém 35 estudantes. Numeram-se de 1 a 35 em pedacinhos de papel e introduz-se numa caixa. Retirasse ao acaso 1 papel cujo número é maior que 25. Qual é a probabilidade desse número ser múltiplo de 5.
Resolução:
Seja, Múltiplos de ; Números maiores que ; Espaço amostal.[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]
,[pic 24]
[pic 25]
,[pic 26]
;[pic 27]
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- Teorema do produto
Tiramos da definição da probabilidade condicional o chamado teorema do produto: seja e (- espaço amostral). Então ou . (MORETTIN, 1999, p.17)[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]
Vejamos ainda que:
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Exemplo:
Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contem 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual é a probabilidade de que ambas:
- Sejam verdes?
- Sejam da mesma cor?
Resolução:
- [pic 35]
- [pic 36]
- Evento independente
MARTINS (2005, p.160) “o acontecimento A é independente do acontecimento B, se a probabilidade de A se verificar, é igual à probabilidade condicional de A se verificar, dado que B se verificou ”[pic 37]
Dissemos que dois ou mais eventos são chamados independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso: [pic 38]
Outra definição de independência de acontecimentos, segundo MARTINS (2005, p.160), “dois acontecimentos A e B, são independentes se a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades de cada um deles ”[pic 39]
Como , vejamos que, , por outro lado, .[pic 40][pic 41][pic 42]
“Sendo e então dissemos que e são independentes se e somente se ”. (MORETTIN, 1999, p.17)[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]
Exemplo
Lançam-se 3 moedas. Verifique se os eventos são independentes:
A: Saída de cara na 1ª moeda;
B: Saída de coroa na 2ª e 3ª moeda.
Resolução:
Seja, cara; Coroa; Espaço amostral[pic 51][pic 48][pic 49][pic 50]
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Logo: .[pic 55]
Como então [pic 56][pic 57]
Concluímos que e são eventos independentes, pois [pic 58][pic 59][pic 60]
Segundo MORETTIN, (1999, p.17), “para verificarmos se 3 eventos A, B, C, são independentes, devemos verificar se 4 proposições são satisfeitas:
- [pic 61]
- [pic 62]
- [pic 63]
- [pic 64]
Se apenas uma não for satisfeita, os eventos não são independentes”.[pic 65]
- Probabilidade total
PEDRO (2010, p70), “a probabilidade de um acontecimento , que pode ocorrer apenas sob a condição de que ocorra um dos acontecimentos que excluem mutuamente e que formam o conjunto , é igual a soma do produto das probabilidades de cada um desses acontecimentos, pela correspondente probabilidade condicional do acontecimento , isto é:[pic 66][pic 67][pic 68]
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De acordo com BERTOLO (2012, p.2), sejam eventos que constituem uma partição do espaço amostral , isto é:[pic 70][pic 71]
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para todo [pic 73][pic 74]
para [pic 75][pic 76]
Assim, se representa um evento, temos o seguinte teorema conhecido como teorema da Probabilidade Total:[pic 77]
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Exemplo:
Um piloto de fórmula 1 tem 50% de probabilidade de vencer determinada corrida, quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade de vitória é de 20%. Se o serviço de Meteorologia estimar em 30% a probabilidade de que chova durante a corrida, qual é a probabilidade deste piloto ganhar a corrida?
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