O Polinômios

POLINÔMIOS

Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores aritméticos. O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) em um produto, e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação. Para compreender melhor o que é um polinômio, veja alguns exemplos:

Classificação de polinômios:

Monômio: Possui um único produto com coeficiente e parte literal. Exemplos:

- 6x²

- 5

Binômio: É um polinômio que possui somente dois monômios. Exemplos:

- 6x² + 6x

- 10y² + 20x

- 34z + 12x

Trinômio: É um polinômio que possui somente três monômios. Exemplos:

- 6x² + 6x – 5

Polinômio: possui uma infinidade de monômios. Exemplo:

- 10z6 - z4 + 2z³ - 15z² + z – 10

1.1 Tipos de Polinômio

Os polinômios podem ser de dois tipos: completo ou incompleto.

• Polinômios completos: O polinômio será completo quando a ordem dos seus expoentes for decrescente (do maior para o menor número) e não faltar nenhum expoente na sequência. Exemplo:

⇒ 3 x5 + 2 x4 – x3 + 12 x2 + 5 .x – 2

• Polinômios incompletos: O polinômio será incompleto quando faltar algum número na sua sequência de expoentes. Veja:

⇒ 3x5 + 5 x – 2

2. OPERAÇÕES ENVOLVENDO POLINÔMIOS

2.1  Igualdade de polinômios:

Dois polinômios p(x) e q(x) são idênticos se os coeficientes dos termos semelhantes forem iguais: Exemplo:

Para o polinômio:

p(x) = ax²+x    e      q(x) = 4x² +x – b            

p(x)= q(x) = ax²+ cx = 4x² + x – b

a=4

b=0

c=1

EXERCÍCIOS

1- Determine os valores de a, b, c, d de modo que os polinômios sejam iguais.

p(x) = ax³+bx²+cx+d              e         q(x)=x³+2x²+4x-2

2- Determine os valores de a, b e c para que os polinômios

 P(x) = 2x[pic 1] + x[pic 2] - 4x + 1     e   q(x) = ax[pic 3] + x[pic 4] + bx + c sejam iguais.

3 -(FAAP–SP), Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio:

 p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14.

2.2 Adição e subtração de Polinômios

O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Exemplos: 

Adição 

Exemplo 1 

Realize a soma dos polinômios: x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6. 

(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal. 

x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. 

x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 

–2x2 + 5x – 7 

Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7 

Subtração 

Exemplo 2 

Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. 

(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 

5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 

5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 

8x2 – 19x – 2 

Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 

Exercícios:

Resolva as operações polinomiais:

1) Se subtrairmos (2x³ – 5x² – x + 21) - (2x³ + x² – 2x + 5), teremos: 

2) Somando-se (4x2 – 10x – 5)  + (6x + 12), teremos: 

3) Considerando os polinômios A = (6x³ + 5x² – 8x + 15), B = (2x³ – 6x² – 9x + 10) e C = - (x³ + 7x² + 9x + 20). Calcule:

a) A + B - C

b) A - B - C

2.3 Multiplicação e divisão de Polinômios

2.3.1 A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas: 

Multiplicação de monômio com polinômio.

Multiplicação de número natural com polinômio. 

Multiplicação de polinômio com polinômio. 

As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades: 

• Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m 

• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente. 

Multiplicação de monômio com polinômio 

• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos: 
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva. 

3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1) 

15x3 + 9x2 – 3x 

Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x 

• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos: 

-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva. 

-2x2 . 5x – 2x2 . (-1) 

- 10x3 + 2x2 

Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2 

Multiplicação de número natural 

• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos: 

3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva. 

3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5 

6x2 + 3x + 15. 

Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15. 

Multiplicação de polinômio com polinômio 

• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2) 

(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva. 

3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2 

15x3 + 6x – 5x2 – 2 

Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2 

• Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos: 

(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva. 

2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2) 

10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2 

10x3+ x2 + 3x – 2 

Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2

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