Algebra Linear

ETAPA 3

Passos de 1 a 2

Definição de sistema linear:

Um conjunto de p equações lineares com variáveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equações e n incógnitas.

Exemplos:

x + y = 3

x – y = 1

Sistema linear com duas equações e duas variáveis.

2x + 5y – 6z = 24

x – y + 10z = 30

Sistema linear com duas equações e três variáveis.

x + 10y – 12z = 120

4x – 2y – 20z = 60

–x + y + 5z = 10

Sistema linear com três equações e três variáveis.

x – y – z + w = 10

2x + 3y + 5z – 2w = 21

4x – 2y – z + w = 16

Sistema linear com três equações e quatro variáveis.

Passo 3

Classificação de um sistema linear :

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas por ele.

SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.

SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.

SI – Sistema Impossível – não possui solução.

EQUAÇÃO LINEAR

É uma equação da forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

Onde

 x1, x2, ..., xn são as incógnitas;

 a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos);

 b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares

1. 4 x + 3 y - 2 z = 0

2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3

3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1

Exemplos de equações não-lineares

1. x2 + y2 = 9

2. x + 2 y - 3 z w = 0

3. x2 + y2 = -9

SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR

Uma seqüência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

Se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:

a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1

Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na equação dada, teremos:

2×5 + 3×6 - 2×7 = 14

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

Onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas;

a11, a12, ..., amn são os coeficientes;

b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Uma sequência de números (r1,r2,...,rn) é solução do sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

Se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4

x + 3y = 2

x + 5y = 2

Pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Classificação dos Sistemas lineares (Quanto ao número de soluções)

Podemos classificar os sistemas lineares da seguinte forma:

SPD – Sistema Possível e Determinado

SPI – Sistema Possível e Indeterminado

SI – Sistema Impossível

SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO

Dado o par ordenado (2, 3) e o sistema a seguir:

x + y = 5

4x – 2y = 2

Podemos dizer que o par ordenado (2, 3) é a única solução do sistema, por isso o classificamos como SPD.

SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO

SPI é um sistema que possui infinitas soluções. Observe:

x – y + z = 2

4x – 4y + 4z = 8

Podem existir inúmeras soluções para o sistema mostrado acima, por isso o classificamos como SPI. Algumas soluções possíveis: (1, 1, 2), (0, 2, 4), (1, 0, 1),...

SISTEMA IMPOSSÍVEL

SI é um sistema impossível de se resolver, ele não apresenta soluções. Observe:

3x – 3y = – 9

3x – 3y = 15

Não existe nenhum par ordenado que satisfaça