Algebra Linear

SUMÁRIO

1 Sistemas de Equações Lineares 3

1.1 Equações Lineares 3

1.2 Sistema Compatível 3

1.2.1 Sistema Determinado 4

1.2.2 Sistema Indeterminado 4

1.2.3 Sistema Incompatível 4

1.3 Sistemas Equivalentes 5

1.4 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes 5

1.5 Escalonamento (Gauss-Jordan) 6

1.6 Regra de Cramer 8

1.7 Bibliografia 15

1 Sistemas de Equações Lineares

Qualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equação da forma:

a1x + a2y = b

onde a1, a2 e b são constantes reais e a1 e a2 não são ambas nulas. Uma equação desta forma é chamada uma equação linear nas variáveis x e y. Mais geralmente, nós definimos uma equação linear nas n variáveis x1, x2, ......xn como uma equação que pode ser expressa na forma

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

onde a1, a2, ..., na e b são constantes reais. As variáveis de uma equação linear são, muitas vezes, chamadas incógnitas.

1.1 Equações Lineares

As equações

x + 3y = 7, y = 1/2x + 3z +1 e x1 – 2x2 – 3x3 + x4 = 7

são lineares. Observe que uma equação linear não envolve quaisquer produtos ou raízes de variáveis. Todas as variáveis ocorrem somente na primeira potência e não aparecem como argumentos de funções trigonométricas, logarítmicas ou exponenciais. As equações

x + 3Vy = 5, 3x + 2y – z + xz = 4 e y = senx

não são lineares.

Uma solução de uma equação linear a1x1 + a2x2 + ... + naxn = b é uma sequência de n números s1, s2, ..., sn tais que a equação é satisfeita quando substituímos x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn. O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado seu conjunto-solução ou, às vezes, a solução geral da equação.

1.2 Sistema Compatível

Diz-se que um sistema de equações lineares é compatível quando admite solução, isto é, quando tem raízes.

1.2.1 Sistema Determinado

Um sistema é determinado quando admite uma única solução.

Exemplo

O sistema

2x + 3y = 18

3x + 4y = 25

É compatível e determinado, pois tem como raízes unicamente.

x = 3

y = 4

1.2.2 Sistema Indeterminado

Um sistema compatível é indeterminado quando admite mais de uma solução (na verdade, admite infinitas soluções).

Exemplos

O sistema

4x + 2y = 100

8x + 4y = 200

É compatível e indeterminado, pois admite infinitas soluções.

1.2.3 Sistema Incompatível

Diz-se que um sistema de equações lineares é incompatível quando não admite solução.

Exemplo

O sistema

3x + 9y = 12

3x + 9y = 15

é incompatível, pois a expressão 3x + 9y não pode ser simultaneamente igual a 12 e igual a 15 para mesmos valores x e y.

1.3 Sistemas Equivalentes

Diz-se que dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução

Exemplo

Os sistemas

3x + 6y = 42

2x – 4y = 12

e

x + 2y = 14

x – 2y = 6

1.4 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes

Um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando se efetuam as seguintes operações elementares:

I – Permutação de duas equações.

II – Multiplicação de uma equação por um numero real diferente de zero.

III – Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um numero real diferente de zero.

Exemplo 1:

x + y = 6 Elimina o y e – y e soma-se o restante

x – y = 2

2x = 8 x = 8/2 x = 4

x + y = 6

4 + y = 6

y = 6 – 4

y = 2 RESPOSTA (4, 2)

Exemplo 2:

x – 5y = - 4 (- 3) multiplica pelo numero para se igualar a equação

3x + 2y = 5

- 3x + 15y = 12

3x + 2y = 5

17y = 17 y = 17/17 y = 1

3x + 2y = 5

3x + 2 X 1 = 5 3x + 2 = 5 3x = 5 – 2 3x = 3 x = 3/3 x = 1

Exemplo