Algebra Linear
Trabalho acadêmico: Algebra Linear. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: UnisaSV • 28/9/2014 • Trabalho acadêmico • 13.571 Palavras (55 Páginas) • 235 Visualizações
´Algebra Linear
S´ergio Lu´ıs Zani
2
Sum´ario
1 Espac¸os Vetoriais 7
1.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Subespac¸os Vetoriais 15
2.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Intersec¸ ˜ao e Soma de Subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Combinac¸ ˜oes Lineares 23
3.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Dependˆencia Linear 31
4.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Base, Dimens˜ao e Coordenadas 37
5.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Dimens˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Dimens˜ao de Soma de Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
4 SUM ´
ARIO
6 Mudanc¸a de Base 51
6.1 Introduc¸ ˜ao, Exemplos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Exerc´ıcios Resolvidos – Uma Revis˜ao 59
8 Transformac¸ ˜oes Lineares 71
8.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 O Espac¸o Vetorial L(U, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3 Imagem e N´ucleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4 Isomorfismo e Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.5 Matriz de uma Transformac¸ ˜ao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.1 Definic¸ ˜ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.5.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.6 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9 Autovalores e Autovetores 105
9.1 Definic¸ ˜ao, Exemplos e Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.2 Polinˆomio Caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10 Diagonalizac¸ ˜ao 115
10.1 Definic¸ ˜ao e Caracterizac¸ ˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11 Forma Canˆonica de Jordan 125
11.1 Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12 Espac¸os Euclidianos 133
12.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12.3 Distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
12.4 ˆAngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.5 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.6 Processo de Ortonormalizac¸ ˜ao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . 145
12.7 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
SUM ´
ARIO 5
12.8 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.9 Operador Auto-adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.10Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6 SUM ´
ARIO
Cap´ıtulo 1
Espac¸os Vetoriais
1.1 Introduc¸ ˜ao e Exemplos
Neste cap´ıtulo introduziremos o conceito de espac¸o vetorial que ser´a usado em todo o
decorrer
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