Análise Real Tópicos Especiais em Matemática

TRABALHO DE RECUPERAÇÃO

Jackson Costa Lima

EDITORA PROMINAS E ORGANIZADORES. Tópicos Especiais em Matemática. In: ANÁLISE REAL, Módulo 7. 2017, p.7 – 68.

A análise real é tida uma das mais importantes disciplinas do curso de matemática que pode ser encarada como uma disciplina que antecede aos estudos dos cálculos diferenciais e integrais.

Análise real é o ramo da análise matemática que lida com o conjunto dos números reais e as funções reais. A análise real surgiu da necessidade de prover provas rigorosas às ideias intuitivas do cálculo tais como continuidade, limite, derivadas, integrais e sequências de funções.

A apresentação da análise real em textos introdutórios geralmente começa com provas simples em teoria dos conjuntos, uma definição precisa do conceito de função e uma introdução aos números naturais e a importante técnica de prova chamada de indução matemática.

As demonstrações são conceitos básicos de grande utilidade para formalização de resultados diversos:

• Proposições Primitivas: São axiomas ou postulados são proposições iniciais que são aceitas sem demonstrações.
• Teorema: É uma proposição que é deduzida de proposições primitivas ou de lemas.
• Proposição: É uma afirmação aceita como verdadeira após demonstrações.
• Lema: Também é uma afirmação aceita como verdadeira após demonstrações, porém o lema é usado como prova de um teorema.
• Prova por Redução ao Absurdo ou Contrapositiva: é uma prova em que realizamos o caminho inverso negando o que foi afirmado antes exemplo, se a resulta em b então o não b resultará em não a.
• Prova do tipo se, e somente se: diferente da prova por redução ou absurdo o mesmo a resultando em b será o b resultado em a, ou seja, a prova da proposta se dá em ambos sentidos, ou seja, uma lógica bi condicional.

Todo conjunto de números finitos possui uma quantidade finita de elementos, assim como o conjunto de números infinitos possui uma quantidade infinitas de elementos. Pode-se definir um conjunto finito como um conjunto vazio ou que que possua uma contagem que tenha fim, e uma mesma cardinalidade. Já um conjunto infinito que possui uma correspondência biunívoca com seus subconjuntos, ou seja, se um de seus subconjuntos for infinito ou conjunto será infinito, são exemplos de conjuntos de números infinitos, os naturais, reais, complexos entre outros.

As sequências e séries numéricas são sucessões são sequências em que se pode definir um fator de avanço, ou seja, uma razão em que se pode definir o n-enésimo termo dessa sequência, progressões aritméticas e geométricas são exemplos de séries.

O conceito de convergência, central para a Análise, é introduzido via limites de sequências. Muitas leis que governam os processos limites podem ser derivadas, e muitos limites calculados. Séries infinitas, as quais pertencem a um tipo especial de sequências, são estudadas neste ponto. Séries de potências servem para definir muitas funções centrais, como a função exponencial e as funções trigonométricas. Vários tipos de subconjuntos dos números reais, como conjuntos abertos, conjuntos fechados e espaços compactos, e suas propriedades são introduzidas em seguida.

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