Atps Calculo II Etapa 1 E 2

Etapa 1

Passo 1

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-se o intervalo de tempo Δt, fazendo-o tender a zero. À medida que Δt é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante.

Em cálculo a velocidade instantânea é o número a que tendem as velocidades médias quando o intervalo diminui de tamanho, isto é, quando h torna-se cada vez menor. Definimos então, velocidade instantânea igual o limite, quando h tende a zero, de sa+h-sah.

Isso é escrito de forma mais compacta usando a notação de limite.

Seja s(t) a posição no instante t. Então, a velocidade instantânea em t = a é definida como:

Velocidade instantânea em t = a = lim┬(h→0)⁡〖sa+h-sah〗

Onde:

h – intervalo de tempo; t – tempo; s – espaço.

As equações utilizadas tanto em física como em cálculo seguem a mesma lógica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição em relação ao seu tempo, expressada por dx (t)dt t=t0 em que dx é a denotação da função posição ou espaço e t a denotação da função tempo.

Exemplo: v=8t^4-〖5t〗^4+8t+5

Ana Valéria da Silva RA: 6819456375

Edvaldo Joel Tomaz RA: 4997019904

Lucas Fernando S. Oliveira RA: 7070546568

Mateus Takehiro Gimbo RA: 7036533034

Rafael de Castro Moreira RA: 6238204838

Rubens de Sousa Rosa RA: 6449315335

Derivando a posição em relação ao tempo temos:

v=8t^4-〖5t〗^4+8t+5

v=32t^3-〖20t〗^3+8

Aplicando tempo igual a 1 segundo temos:

v=32〖×1〗^3-〖20×1〗^3+8

v=32-20+8

v=20 m/s

Passo 2

Tempo (s) Espaço (m) Velocidade (m/s)

0 5 8

1 16 20

2 69 104

3 272 332

4 805 776

5 1920 1508

Passo 3

A aceleração instantânea de um corpo móvel, que define aceleração como sendo a derivada da função velocidade, o conceito de aceleração e introduzida de maneira análoga ao da velocidade. Ele mede a variação da velocidade em relação ao tempo. Podemos definir aceleração média e aceleração instantânea, sendo esta dada por.

lim┬(h→0)⁡〖〖=vt+∆t-vt∆t=dvdt=ds〗^2 〗 dt^2

Dizemos que o movimento é uniformemente variado quando sua aceleração for constante diferente de zero. O caso mais estável deste tipo de movimento é de um corpo em queda livre, que foi estudado por Galileu, com mais cuidado e atenção que por qualquer de seus predecessores, vamos considerar o movimento uniformemente variado com aceleração a. Sejam v=v(t), sua velocidade no instante t é vo=v(o), a velocidade inicial. Como a é constante podemos escrever: a=v-v0t , ou seja, v=v0+at que é a equação da velocidade.

Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofre aceleração, para sabermos como ela está variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relação ao tempo sendo: a=dvdt, pois a aceleração da partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v×t naquele ponto. Em outras palavras, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é dada pela derivada segunda de sua posição s ×t, em relação ao tempo.

Derivando a velocidade em relação ao tempo, temos:

a=dvdt=32t^3-20t^3+8

a=dvdt=96t^2-60t^2

Aplicando o tempo igual a 1 segundo temos:

a=dvdt=96〖×1〗^2-60〖×1〗^2

a=dvdt=96-60

a=dvdt=36m/s^2

Passo 4

Tempo (s) Aceleração (m/s2)

0 0

1 36

2 144

3 324

4 576

5 900

Etapa 2

Passo 1

O número de Euler é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em: Cálculo de diferenciais e integradas.

O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suíço Leonhard Euler. É a base dos logaritmos naturais.

Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra e são desconhecidas, mas talvez seja porque e seja a primeira letra da palavra exponencial.

Tem ainda a remarcável propriedade que a taxa de variação de ex no ponto x = t vale et, daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural.

Ou ainda, se escolherem números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

Euler nasceu em Basiléia, filho do pastor calvinista Paul Euler e de Marguerite Brucker, filha de um pastor. Teve duas irmãs mais novas: Anna Maria e Maria Magdalena.

Pouco depois do seu nascimento, sua família mudou-se para a cidade de Riehen, onde passou a maior parte da sua infância. Desprezando seu prodigioso talento matemático, determinou que ele estudasse Teologia e seguiria a carreira religiosa. Paul Euler era um amigo da família Bernoulli, e Johann Bernoulli - que foi um dos matemáticos mais importantes da Europa - seria eventualmente