Aulas-tema: Séries Geométricas. Séries De Taylor.

ETAPA 1

1.1 Passo 1

Esta seção requer alguns conhecimentos de Cálculo 1. Seu objetivo é mostrar que, quando a matriz de um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem é diagonalizável, então podemos expressar a solução geral desse sistema em termos dos autovalores e autovetores dessa matriz.

A modelagem de problemas na Física, na Engenharia, na Química e em outras áreas são freqüentemente expressos em termos de equações diferenciais. Embora o estudo das equações diferenciais seja uma disciplina à parte, nesta seção vamos estudar uma aplicação da diagonalização de matrizes na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares.

Na Física, a posição de um ponto móvel ao longo de uma reta em um dado instante de tempo é dada por uma função horária . A variação instantânea da posição do móvel é chamada velocidade (instantânea) e, por sua vez, a variação instantânea da velocidade é chamada aceleração.

Na Física, a posição de um ponto móvel ao longo de uma reta em um dado instante de tempo é dada por uma função horária . A variação instantânea da posição do móvel é chamada velocidade (instantânea) e, por sua vez, a variação instantânea da velocidade é chamada aceleração.

Por exemplo, se é a função horária de um móvel, então sua velocidade é , e sua aceleração é .

Se uma força variável age sobre o móvel em uma direção paralela à reta onde ele se move, então a Segunda Lei de Newton nos diz que

onde é a massa do ponto movel. Substituindo a aceleração, temos

.

Quando a força é conhecida, mas a função horária não, então a equação

pede por uma função que a torne verdadeira. Nessa equação, a incógnita é uma função , e seus termos envolvem também as derivadas de até a segunda ordem. Por isso, a chamamos de equação diferencial de segunda ordem.

Exemplo 1. Digamos que a força seja , o móvel pese , esteja na origem e com velocidade no instante . Nesse caso, sua função horária é , pois, derivando essa expressão duas vezes, temos , ou seja, essa função é solução da equação diferencial. Pode-se mostrar que, com as condições impostas, essa solução é única.

Uma equação diferencial de ordem juntamente com um conjunto de condições para a função e suas derivadas até ordem constitui o que chamamos de Problema de Valor Inicial, ou PVI. Pode-se mostar que, se um PVI possui solução, então sua solução é única. O exemplo 1 é um PVI.

Exemplo 2. A Lei de Hooke estabelece que a força elástica de uma mola é proporcional à sua distensão , na direção oposta a esta. Se uma massa está presa a uma das extremidades de uma mola horizontal e pode se mover livremente, e a outra extremidade da mola está fixa, então , onde é a constante elastica da mola.

Por outro lado, é a única força atuando sobre o sistema, logo, pela Segunda Lei de Newton, , devemos ter . Portanto,

,

ou seja

.

Essa equação diferencial de segunda ordem descreve completamente o movimento da massa presa à mola e, se forem dadas condições iniciais, podemos encontrar a função horária da massa. Assim, suponhamos que seja a posição inicial e que a velocidade inicial da massa, o que nos dá o PVI:

.

Nesse caso, a função

é a função posição do móvel, conforme pode ser verificado substituindo e sua segunda derivada no PVI.

1.2 Passo 2

Equações Diferenciais

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

CLASSIFICAÇÃO

• EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.

• EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

y' = 2x tem ordem 1 e grau 1

y"+x2(y')3 - 40y = 0 tem ordem 2 e grau 3

y"'+x2y3 = x.tanx tem ordem 3 e grau 3

RESOLUÇÃO

A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).

Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)

Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3

(condição inicial)

3 = -1 - 2 - 1 + C C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)

Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.

As soluções se classificam em:

Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas

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