Capitlização Compsta

2.0 Capitalização Composta

No regime de capitalização composta, os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, em que o capital cresce de forma geométrica. O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização

Em economia inflacionária ou em economia de juros elevados, é recomendada a aplicação de capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples poderá produzir distorções significativas principalmente em aplicações de médio e longo prazo, e em economia com altos índices de inflação produz distorções mesmo em aplicações de curto prazo. (KUHNEN, 2008).

2.1 Juros Compostos

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. (BRANCO, 2002).

2.1.1 Fórmulas

Calculo do valor do juro em capitalização composta

Cálculo do valor futuro em capitalização composta

Cálculo do valor presente em capitalização composta

Cálculo da taxa de juros em capitalização composta

Cálculo do período de aplicação em capitalização composta

Glossário:

LN = Logaritmo Neperiano.

LOG = Logaritmo Decimal.

2.1.2 Exemplos

1) (TOSI, 2002). Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante de R$ 100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês?

Solução:

2) (TOSI, 2002). Qual o valor de resgate relativo à aplicação de um capital de R$ 500.000,00, por 18 meses, à taxa de juros compostos de 10% ao mês?

Solução:

3) (HAZZAN, 2007). Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses, produzindo um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?

Solução:

4) (HAZZAN, 2007). Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 10% a.a. para resultar em um montante de R$ 1.610,51?

Solução:

5) (KUHNEN, 2001). Determinar os juros produzidos por um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos de 10% ao semestre, capitalizado semestralmente, durante 1 ano e seis meses.

Solução:

1.2 Convenção Linear e Convenção Exponencial

A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. Esta convenção é, em essência, uma mistura de regime composto e linear, adotando fórmulas de juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples na parte fracionária.

Já a convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período. Ou seja, utiliza capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária.

Esta convenção é mais generalizadamente usada na prática, sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os períodos não inteiros. (ASSAF NETO, 2001)

1.2.1 Fórmulas

Cálculo do montante pela convenção Linear

Cálculo do montante pela convenção Exponencial

1.2.2 Exemplo

1) (HAZZAN, 2007) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante três meses e meio, a taxa de 8% a.m.

a) Qual o montante pela convenção exponencial?

b) Qual o montante pela convenção linear?

Solução:

a)

b)

1.3 Taxas Equivalentes

Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, se aplicadas sobre um mesmo capital, por um período equivalente de tempo, gerando montantes iguais. (SHINODA, 1998)

No sistema de capitalização composta, ao contrario do que acontece no sistema de capitalização simples, duas taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais entre si.

Daí a necessidade de obtermos uma relação que nos permita calcular a taxa equivalente, num certo período de tempo, a uma dada taxa de juro composto. (PARENTE, 1996).

1.3.1 Fórmula.

1.3.2 Exemplos

1) (TOSI, 2002) Qual a taxa anual equivalente a 5% ao mês?

Solução:

2) (TOSI, 2002) Qual a taxa mensal equivalente a 200% ao ano?

Solução:

1.4 Taxa Nominal ou Aparente e Taxa Efetiva

Existem algumas situações em que a taxa utilizada na operação não coincide com o período de capitalização.