Correlação E Regressão

m outras situações, uma das variáveis apresenta um interesse específico e as restantes são estudadas de modo a fornecer informações sobre aquela variável particular; o que se procura, na verdade, é estabelecer uma relação funcional entre uma das variáveis e as restantes.

Quando existirem duas séries de dados, existirão várias medidas estatísticas que podem ser usadas para capturar como as duas séries se movem juntas através do tempo. As duas mais largamente usadas são a correlação e a covariância. Para duas séries de dados, X (X1, X2,.) e Y(Y1,Y2... ), a covariância fornece uma medida não padronizada do grau no qual elas se movem juntas, e é estimada tomando o produto dos desvios da média para cada variável em cada período.

O sinal na covariância indica o tipo de relação que as duas variáveis têm. Um sinal positivo indica que elas movem juntas e um negativo que elas movem em direções opostas. Enquanto a covariância cresce com o poder do relacionamento, ainda é relativamente difícil fazer julgamentos sobre o poder do relacionamento entre as duas variáveis observando apenas a covariância, pois ela não é padronizada.

A correlação é a medida padronizada da relação entre duas variáveis. Ela pode ser calculada da covariância:

A correlação nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que -1. Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis não estão relacionadas. Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem juntas, e a relação é forte quanto mais a correlação se aproxima de um. Uma correlação negativa indica que as duas variáveis movem-se em direções opostas, e que a relação também fica mais forte quanto mais próxima de -1 a correlação ficar. Duas variáveis que estão perfeitamente correlacionadas positivamente (r=1) movem-se essencialmente em perfeita proporção na mesma direção, enquanto dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados negativamente movem-se em perfeita proporção em direções opostas.

Uma regressão simples é uma extensão do conceito correlação/covariância. Ela tenta explicar uma variável, a qual é chamada variável dependente, usando a outra variável, chamada variável independente. Mantendo a tradição estatística, seja Y a variável dependente e X a variável independente. Se as duas variáveis são plotadas uma contra a outra num gráfico de espalhamento, com Y no eixo vertical e X no eixo horizontal, a regressão tenta ajustar uma linha reta através dos pontos, de tal modo que minimiza a soma dos desvios quadrados dos pontos da linha. Conseqüentemente, ela é chamada de regressão ordinária dos mínimos quadrados (OLS). Quando tal linha é ajustada, dois parâmetros emergem - um é o ponto em que a linha corta o eixo Y, chamado de intercepção da regressão, e o outro é a inclinação da linha de regressão.

A inclinação (b) da regressão mede a direção e a magnitude da relação. Quando as duas variáveis estão correlacionadas positivamente, a inclinação também será positiva, enquanto quando as duas variáveis estão correlacionadas negativamente, a inclinação será negativa. A magnitude da inclinação da regressão pode ser lida como segue: para cada acréscimo unitário na variável (X), a variável dependente mudará por b (inclinação). A ligação estreita entre a inclinação da regressão e a correlação/covariância não seria surpreendente desde que a inclinação for estimada usando a covariância:

A intercepção (a) da regressão pode ser lida de várias maneiras. Uma interpretação diz que ela é o valor que Y terá quando X é zero. Uma outra é mais direta, e está baseada em como ela é calculada: na diferença entre o valor médio de Y, e o valor ajustado da inclinação de X.

Os parâmetros da regressão são sempre estimados com algum ruído, parcialmente porque o dado é medido com erro e porque os estimamos de amostra de dados. Este ruído é capturado numa dupla de estatísticas. Um é o R2 da regressão, que mede a proporção da variabilidade em Y que é explicada por X. É uma função direta da correlação entre as variáveis

Um valor de R2 muito próximo de 1 indica uma forte relação entre as duas