Cubo E Paralelepípedo

Cubo e Paralelepípedo

Por: Thomas

Paralelepípedo é um prisma que possui em suas bases um paralelogramo. Sendo que o paralelepípedo é configurado pela reunião dos seis paralelogramos que o constituem.

Paralelepípedo reto é aquele onde toda a projeção de sua face superior cai sobre sua face inferior, ou seja faz um ângulo de 90º entre cada uma das faces.

Cubo é o paralelepípedo reto que tem todas as arestas congruentes.

Diagonal e área do cubo, se notarmos um cubo é formado por seis faces quadradas, de lado n. Poderemos então concluir que sua área lateral total é de : 6n2

Para a diagonal do cubo deveremos considerar a a diagonal do lado e d a diagonal principal.

Assim

Para calcular f devemos efetuar o Teorema de Pitágoras com os lados do cubo.

Agora para a diagonal principal temos:

Observe que para o paralelepípedo retângulo a idéia é a mesma onde encontramos:

Onde sua superfície lateral total é de :

2ab + 2bc + 2ac

E d (sua diagonal principal) é:

O volume do cubo é dado por n3 e o do paralelepípedo reto é abc.

Paralelepípedo retângulo

      Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

      Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

 

Diagonais da base e do paralelepípedo

      Considere a figura a seguir:

db = diagonal da base

dp = diagonal do paralelepípedo

      Na base ABFE, temos:

         No triângulo AFD, temos:

Área lateral

      Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)

   

Área total

      Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)

 

Volume

      Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

      Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

      Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h:

 

PRISMAS

PARALELEPÍPEDO E CUBO

 

1. ( PUCCAMP - SP ) Usando uma folha de latão, deseja-se construir um cubo com volume de 8 dm3. A área da folha utilizada para isso será, no mínimo:

a. 20 cm2

b. 40 cm2

c. 240 cm2

d. 2000 cm2

e. 2400 cm2

 2. ( PUC - PR ) As três dimensões de um paralelepípedo reto retângulo de volume 405 m3, são proporcionais aos números 1, 3 e 5. A soma do comprimento de todas as suas arestas é:

a. 108 m

b. 36 m

c. 180 m

d. 144 m

e. 72 m

 3. ( ACAFE - SC ) Num paralelepípedo reto, as arestas da base medem 8 dm e 6 dm e a altura mede 4 dm. Calcule a área da figura determinada pela diagonal do paralelepípedo, com a diagonal da base e a aresta lateral :

a. 20 dm2

b. 24dm2

c. 32 dm2

d. 40 dm2

e. 48 dm2

 4. ( UDESCO - SC ) Aumentando-se de 1 metro a aresta de um cubo, sua área lateral aumenta de 164 metros quadrados. Então, o volume do cubo original em metros cúbicos era:

a. 1000

b. 8000

c. 27000

d. 3375

e. 9261

 5. ( PUC - SP ) Uma caixa d'água em forma de prisma reto tem aresta lateral igual a 6 dm e por base um losango cujas diagonais medem 7 m e 10 m. O volume dessa caixa, em litros é:

a. 42 000

b. 70 000

c. 200 000

d. 210 000

e. 420 000

 6. ( PUC - PR ) Se a razão entre os volumes de dois cubos é 1/3 a medida da aresta maior é igual a medida da menor, multiplicada por:

a. 1/3

b.

c.

d.

e. 3

 7. ( PUC - SP ) Sabe-se que as arestas de um paralelepípedo estão em progressão geométrica, que seu volume é 64 cm3 e a soma de suas dimensões é igual a 21 cm. Então, a área total do paralelepípedo é igual á:

a. 256