CÁLCULO 2

Questão 1: Calcule as seguintes integrais:

(a) ;

(b) (Apresente o resultado com raízes e fatorado);

(c) ;

(d) (Dica: Use o fato de que e em seguida use substituição);

(e) .

Questão 2: Usando um software gráfico, esboce as curvas e em seguida, hachure a região compreendida entre as duas curvas no intervalo e finalmente calcule a área da região hachurada.

Questão 3: A região abaixo é formada pela reta e pela parábola . Calcule a área da região hachurada de duas formas:

(a) Em relação a variável x.

(b) Em relação a variável y.

(c) Qual dos métodos é mais eficiente? Por quê?

Questão 4: Lemos em muitos lugares que os inventores do cálculo foram Sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646 – 1716), então que tal pesquisar sobre a contribuição destes grandes matemáticos no desenvolvimento do cálculo? Faça então sua pesquisa e responda as duas perguntas abaixo:

1.1 Qual o papel de Newton no desenvolvimento do cálculo?

1.2 Qual o papel de Leibniz no desenvolvimento do cálculo?

ATENÇÃO: Seja sucinto na sua pesquisa, cada pergunta deve ser respondida em no máximo 15 linhas. Você pode fazer esta pesquisa utilizando dois livros básicos:

1. História da Matemática de Carl B. Boyer

2. Introdução a História da Matemática de Howard Eves

Questão 5: Calcule as seguintes integrais trigonométricas:

(a)

(b) . Dica: Use a identidade do arco duplo

Questão 6: Calcule a área da região delimitada pela hipérbole e a reta . Para este exercício você deve usar os conceitos de hipérbole. Esboce a curva para você ficar mais confortável e visualizar o que área está sendo calculada e note que o uso de simetria facilita o cálculo. Não há necessidade de mostrar o desenho.

Questão 7: Resolva as integrais abaixo por frações parciais:

4.1 .

4.2 . Dica: Transforme o integrando em uma função racional, fazendo a substituição .

Questão 8: Seja a integral

5.1 Explique porque esta integral é imprópria.

5.2 Calcule a integral imprópria. Mostre todos os passos com o uso adequado da notação de limite.

Questão 9: Exemplificar uma rosácea com 12 folhas, explicando o porque da escolha da função e fazer o seu gráfico usando o programa computacional graph.

Questão 10: Seja a curva

2.1 Esboce a curva.

2.2 Podemos calcular o comprimento de uma curva de duas maneiras, usando a fórmula em relação a x como está descrito no nosso livro didático ou e relação a y usando uma fórmula similar:

.

Ou seja, podemos isolar x em função de y, isto é, onde os limites de integração variam no eixo y. Com base nisto, monte as duas fórmulas que dão o comprimento de arco da curva do ponto (0,0) ao ponto (1,1).

Quais das duas integrais é imprópria?

2.3 Escolha uma das duas fórmulas do item anterior para calcular o comprimento de arco.

Questão 11: Seja um círculo de raio r com centro na origem cuja equação é dada por Se girarmos o semicírculo superior em torno do eixo x, obtemos uma esfera de raio r. Usando os conceitos estudados de volume de solido de revolução, mostre que o volume de uma esfera de raio r é .

Questão 12: Uma mola tem comprimento original de 1m. Uma força de 24N a estica até o comprimento total de 1,8m.

4.1 Determine a constante de força k.

4.2 Quanto trabalho será necessário para esticar a mola 2m além do seu comprimento original?

4.3 Até que ponto uma força de 45N estica a mola?