Derivadas

oncavidade e ponto de inflexão

Um arco de uma curva é côncavo para cima se, em todos os pontos, o arco fica acima da tangente. Quando x aumenta ou y' não varia de sinal e é crescente (como no intervalo b < x < c), ou troca de sinal, passando de negativo para positivo (como nos intervalos c < x < e e g < x < i). Em qualquer caso, a inclinação y' da curva é crescente e y" é positiva.

Um arco de uma curva é côncavo para baixo se, em todos os pontos, o arco fica abaixo da tangente. Quando x aumenta, ou y' não varia de sinal e é decrescente (como no intervalo a < x < b), ou troca de sinal, passando de positivo para negativo (como no intervalo e < x < g). Em qualquer caso, a inclinação y' da curva é decrescente e y" é negativa.

Ponto de inflexão é o ponto em que a curva muda de côncava para cima em côncava para baixo, ou vice-versa. Na Fig. 2, B, E e G são pontos de inflexão. Uma curva y = f (x) tem um ponto de inflexão em x = x0, quando: a) f(x0) está definido. b) f"(x0) = 0 ou se torna infinito.

c) f"(x) troca de sinal quando x aumenta passando por x = x0. Então, parte do processo para se traçar um gráfico é o de encontrar extremos relativos da função em estudo. Resumidamente:

1] Encontre f’. 2] Encontre os pontos críticos para f; isto é, (a) Encontre todos os pontos c do domínio de f para os quais f’(c) não existe. (b) Encontre todos os pontos c para os quais f’(c) = 0. 3] Teste cada um dos pontos críticos para observar quando ele corresponde a um máximo relativo, um mínimo relativo, ou não é extremo relativo. Nesse caso, os testes da primeira ou segunda derivada podem ser usados.