Derivadas

Unidade III – Derivadas

Competência

• Aplicar as regras de derivação para as funções algébricas e transcendentes.

• Determinar a equação da reta tangente e da reta normal a uma curva. Identificar os pontos extremos de uma curva.

• Otimizar os modelos matemáticos aplicados.

Objetivos

• Conceituar e interpretar a derivada geometricamente.

• Interpretar as variações nos modelos funcionais aplicados aos mais diversos ramos do conhecimento, como Economia, Engenharia, Física, Biologia, Finanças, Administração e Tecnologias da Informação.

Aula 01

Um pouco de História

Um dos primeiros desdobramentos da geometria analítica foi o cálculo diferencial e integral. Criado por Newton e Leibnitz, no século XVII, ele é utilizado para analisar e prever as variações dos comportamentos de forças ou de coisas móveis. Permite equacionar e representar graficamente a órbita dos planetas, a trajetória de uma bomba ou de um corpo em queda, a variação da intensidade de um som. O cálculo é uma das ferramentas utilizadas por Newton na sua teoria de Gravitação Universal. O conceito de cálculo se prende na chamada “convergência para um limite” que nada mais é do que um valor desconhecido que pode ser medido por aproximações sucessivas e cada vez menores até aproximar-se de zero. Para fazer esse tipo de medição, Newton e Leibnitz criaram duas operações: a diferenciação e a integração. A primeira, a diferenciação, que é o nosso caso, além de outros, se prende na análise e esboço de gráficos determinando os pontos extremos (máximo ou mínimos) das funções. Fica evidente, a importância das derivadas, particularmente na Econometria, onde é fundamental o cálculo do valor máximo de uma função, bem como, na Estatística onde o método dos mínimos quadrados é utilizado como condição para que cada erro seja minimizado.

Introdução

Os exemplos acima citados demonstram que o traçado de gráficos e o estudo de máximos e mínimos são por si próprios, importantes, levando-se em consideração que quase todas as disciplinas contêm tópicos que se relacionam com o estudo dos máximos e mínimos e com a habilidade de esboçar e interpretar gráficos. Para desenvolver a teoria dos máximos e mínimos e para o traçado de gráficos é conveniente que se tenha um profundo conhecimento sobre o comportamento gráfico de uma função. A seguir, apresentamos uma situação que retrata tudo o que foi mencionado acima.

Um fabricante se propõe a fazer caixas abertas a partir de folhas de papelão retangulares de 8 cm de comprimento e 5 cm de largura. Para tanto, devem ser cortados quadrados idênticos em cada canto da folha e, sendo que a parte restante dos lados deve ser dobrada de modo a se obter uma caixa sem tampa. O nosso problema consiste em determinar as dimensões da caixa de maior volume que pode ser construída com esta folha e calcular esse volume.

x x

Solução: x x

x x x 5 – 2x

x x 8 – 2x

A caixa assim obtida tem formato de um paralelepípedo retângulo, cujo volume é dado por: V = área da base x altura, onde a base é um retângulo de área (5 – 2x).(8 - 2x ) e a altura x, então V = (5 – 2x).(8 – 2x).x ou ainda

V = 4x³ - 26x² + 40x, sendo que 0 x .

Derivando, temos:

V’ = 12x² - 52x + 40

E, V’ = 0, para x = ou para x = 1.

Podemos desconsiderar o valor pelo fato de estar fora do domínio da função. Então, para x = 1, as dimensões da caixa são 1 cm, 3 cm e 6cm, as quais nos fornecerão um volume máximo de 18 cm³.

No desenvolvimento do assunto , o aluno terá oportunidade de verificar as diversas aplicações das derivadas.

Definição de Derivada

• Definição: Dada a função f , definida em um intervalo real , chamamos derivada de f à função f ’(x) = , se existir e for finito este limite.

• Notação: A derivada da função f pode ser representada por uma das seguintes formas:

y ’ = f’(x) = =

Exemplos:

Calcular, pela definição, a derivada das funções abaixo :

Questão 1. f(x) = x²

Solução:

f ’(x) = , onde :

f(x) = x² e f(x + h) = (x + h)² = x² + 2xh + h² , substituindo na definição temos:

f ’(x) = = = (indet.)

f ’(x) = = 2x + 0 = 2x

Logo , se f(x) = x² f ’(x) = 2x

Questão 2. f(x) =

Solução: f(x) = ; f(x + h) = e f ’(x) = , então:

f ’(x) = = , levantando a indeterminação , temos:

f ’(x) = = = =

Logo , se f(x) = , então f ’(x) = -

Questão 3. Dada f(x) = , calcule f ’( 1 ).

Solução:

Calculando a derivada de f(x)

f ’(x) = = (indeterminação)