Equacoes Diferenciais

Etapa 1

3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

A equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções. Também podemos dizer que a equação diferencial é uma equação que contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

As equações diferenciais podem ser classificadas em EDO (Equações

Diferenciais Ordinárias), quando possui apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente, e EDP (Equações Diferenciais Parciais), quando envolve derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a duas ou mais variáveis independentes.

Toda função definida em um intervalo “I” que tem, pelo menos, “n” derivadas contínuas em I, as quais, quando substituídas na equação diferencial de ordem “n”, reduzem a equação diferencial a uma identidade no intervalo. Em outras palavras, a solução de uma equação diferencial de ordem “n” é uma função Φ que tem, pelo menos, “n” derivadas de forma que F(x, Φ(x), Φ'(x),..., Φn(x))=0

Aplicação e modelagem

As equações diferenciais modelam inúmeros problemas dos mais diversos campos da Física. No caso de um circuito elétrico simples, mas, que é básico para os mais diversos casos. Ele contém três tipos de componentes: resistências, indutores e capacitores. Estes componentes são ligados em série, podendo haver repetição ou ausência de alguns deles, dependendo dos tipos de componentes presentes no circuito, sendo, conforme o caso, designados por: circuito RLC, circuito LC, circuito RC ou circuito RL. Para apresentar as leis do eletromagnetismo que aplicamos nesta modelagem usamos as unidades: Ω (lê-se ohm) que mede a resistência em R, H (lê-se Henry) que mede a indutância em um indutor L e F (lê-se Farad) que mede a capacitância em um capacitor L. Denominamos também de malha fechada a um grupo de componentes interligados em série formando uma poligonal fechada.

Podemos perceber que as principais leis que regem o circuito RLC podem ser definidas como;

Tensão consumida - nas leis do eletromagnetismo adaptadas a circuitos elétricos que dão origem as seguintes leis de consumos de tensão:

Ri (t) È a tensão consumida em uma resistência com R ohms atravessada por uma corrente de i(t) Amperes;

Li’ È a tensão consumida em um indutor com L Henrys atravessado por uma corrente de i(t) Amperes;

1/C ∫▒i(t)dt È a tensão consumida em um capacitor com C Farads atravessada por uma corrente de i(t) Amperes.

Nesta última relação observamos que a carga Q no capacitor medida em Coulomb é Q(t)=∫▒i(t)dt , que nos permite interpretar a unidade de corrente A como A = Coulomb/segundo, isto é, i(t) medido em Amperes, indica quantos coulombs atravessam o circuito por segundo.

Lei de Kirchhoff para Voltagem – Em uma malha fechada, a soma de todas as tensões geradas menos a soma de todas as tensões consumidas é igual a zero. Assim de acordo com as definições acima obtemos algumas equações que modelam um circuito RLC, e que na verdade derivarmos as equações e aplicarmos o teorema fundamental do cálculo Obteremos uma EDO com coeficientes constantes. Depois para as soluções encontramos a solução geral da EDO homogênea e depois a outra solução particular aplicando o método dos coeficientes a determinar.

Modelar um circuito simples é antes fazer estudos transitórios de algumas Leis que regem o eletromagnetismo são conceitos básicos de circuitos com certos parâmetros concentrados