Integrais Triplas

INTEGRAIS TRIPLAS

Teorema de Fubini para Integrais Triplas: Seja f : R → R contínua em R. Então:

∭_R▒〖f(x,y,z) dx,dy,dz〗 = ∫_a^b▒〖[∫_c^d▒〖[∫_p^q▒f(x,y,z)dz〗]dy]dx〗

=∫_p^q▒〖[∫_c^d▒〖[∫_a^b▒f(x,y,z)dx〗]dy]dz〗

=∫_c^d▒〖[∫_a^b▒〖[∫_p^q▒f(x,y,z)dz〗]dx]dy〗

=∫_a^b▒〖[∫_p^q▒〖[∫_c^d▒f(x,y,z)dy〗]dz]dx〗

=..............................

A prova do teorema de Fubini para integrais triplas é completamente análoga à das integrais duplas.

INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

A primeira generalização tridimensional das coordenadas polares que vamos trabalhar são as chamadas coordenadas cilíndricas. Em palavras, esse sistema de coordenadas trata um plano do R^3em coordenadas polares e chama de z o eixo ortogonal a este. Cada ponto é descrito pela tripla (r,θ,z). Se escolhemos a origem de um sistema cartesiano no pólo das coordenadas polares, mantemos a mesma convenção de fazerθ=0 corresponder à semi-reta da parte positiva do eixo x e fazemos os eixos z das coordenadas cartesianas e das cilíndricascoincidirem (e até por isso é convencional usar-se a mesma letra), a mudança de coordenadas toma a forma:

x=r cos⁡θ

y=r sin⁡θ

z=z

A fórmula abaixo se refere a fórmula para integração tripla em coordenadas cilíndricas, a qual nos mostra como converter uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas.

∭_E▒〖f(x,y,z)dV=∫_α^β▒∫_(h1(θ))^(h2(θ))▒∫_(u1(r cos⁡〖θ,r sin⁡θ 〗))^(u2(r cos⁡θ,r sin⁡θ))▒〖f(r cos⁡θ,r sin⁡θ,z)r dz dr dθ〗〗

INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS

Mais próximo da idéia das coordenadas polares planas está o sistema de coordenadas esféricas. Novamente, a ideia é apontar a direção em que se deve ir e a distância a ser percorrida. Esta direção será dada por um ponto na esfera, assim usamos dois ângulos para descrever a direção. Uma escolha comum destes ângulos é manter o mesmo θ das coordenadas cilíndricas e trabalhar com um ângulo φ medido a partir do semi-eixo z > 0 das coordenadas cilíndricas. Naturalmente para cobrir todas as direções será suficiente usar θ ∈[0,2π] e φ∈[0,π]. Com essas escolhas, e chamando de ρ a distância ao pólo, teremos a seguinte mudança de coordenadas entre esféricas e cilíndricas:

z=ρ cos⁡φ

r=ρ sin⁡φ

θ=θ

Que leva à seguinte relação entre polares esféricas e cartesianas:

x= ρ sin⁡φ cos⁡θ

y=ρ sin⁡φ sin⁡θ

z=ρ cos⁡φ

Como queremos entender as superfícies que obtemos fazendo cada uma das variáveis constantes, temos que, se ρ = c, temos uma esfera. Se θ=c temos um semi-plano. Já se φ = c, temos um cone.

A fórmula abaixo se refere a fórmula para integração tripla em coordenadas esféricas, a qual nos mostra como converter uma integral tripla em coordenadas retangulares para coordenadas esféricas.

∭_E▒〖f(x,y,z)dV=∫_c^d▒∫_α^β▒∫_a^b▒〖f(ρ sin⁡〖φ cos⁡θ 〗,ρ sin⁡φ sin⁡〖θ,ρ cos⁡φ 〗 ) ρ^2 sin⁡φ dρ dθ dφ〗〗

Onde E é uma cunha esférica ada por:

E={(ρ,θ,φ)| a≤ρ≤b,α≤θ≤β,c≤φ≤d}