Introdução ao cálculo diferencial e integral

Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral

De ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva enquanto que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas, mas também possui muitas outras interpretações possíveis. Na realidade, a grande descoberta de Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a variação das mesmas.

Elementos históricos sobre a integral

A idéia básica do conceito de integral já estava embutida no método da exaustão atribuído a Êxodo (406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.), grande matemático da escola de Alexandria. Pode-se obter a área de uma figura plana irregular ou obter o volume de um sólido com o formato de um barril.

O método da exaustão consiste em “exaurir” a figura dada por meio de outras de áreas e volumes conhecidos. O caso mais conhecido é o famoso problema da quadratura do circulo, isto é, o problema de obter um quadrado com a mesma área de um circulo de raio r dado.

Uma primeira aproximação para a área do circulo é dada pela área do quadrado inscrito no circulo. Com o acréscimo de quatro triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, cuja área fornece uma aproximação melhor à área do circulo.

Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos um polígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, é possível observar que já se tem a impressão de termos exaurido o circulo, embora saibamos que existem algumas áreas que não foram cobertas.

Continuamos a exaurir o círculo para obter aproximações cada vez melhores para a área do circulo, através de polígonos regulares inscritos de 2 lados

Este teorema torna o difıcil problema de calcular integrais definidas por meio do c´alculo do limite de somas num

problema muito mais fácil de encontrar primitivas. Portanto, para achar o valor de ∫ b

a

f(x) dx n˜ao precisamos

mais calcular limites de somas de Riemann; simplesmente achamos, da maneira que for poss´ıvel (por inspe¸c˜ao,

por algum c´alculo inteligente, por inspira¸c˜ao divina, procurando numa tabela, usando o Maple), uma primitiva

F da fun¸c˜ao que queremos integrar e calculamos o n´umero F(b) − F(a).

5. A tarefa de encontrar primitivas de fun¸c˜oes n˜ao ´e trivial e, em alguns casos, ´e imposs´ıvel determinar primitivas

em termos de fun¸c˜oes elementares – polinˆomios, senos e cossenos, logaritmos e exponenciais, ou combina¸c˜oes e

composi¸c˜oes destas fun¸c˜oes. No entanto, a fun¸c˜ao A(x) definida no teorema fundamental do c´alculo, existe sempre

que o integrando for uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo [a, x], mesmo que n˜ao saibamos calcul´a-la explicitamente,

e ´e cont´ınua, pois ´e deriv´avel. Neste sentido, por exemplo, o problema de se achar uma f´ormula expl´ıcita para a

integral

∫