Lista De álgebra

Lista de exercícios de Álgebra II Prof. Simone

1- Seja B= { (1,1,0),(1,0,1),(0,2,0)} do IR³, ache uma base ortonormal(é ortogonal e todos os seus vetores são unitários), em relação ao produto interno usual.

2- Qual a transformação linear T: IR²→ IR³ tal que :

a)T (1,1) = (3,2,1) e T (0,-2)= (0,1,0)

b) a transformação linear: T(1,0)

c) a transformação linear: T(0,1)

d)Encontre vЄIR² tal que T(v)= (6, ,2)

3- Qual é a transformação linear S: IR³→IR² tal que S(3,2,1)= (1,1), S(0,1,0)=(0,-2) e S(0,0,1)= (0,0)?

4- Sabendo-se que um operador linear T: IR²→ IR² é tal que T(1,0)=(3,-2) e T(0,1)=(1,4). Determine T(x,y).

5- Encontre a transformação linear T: IR²→ IR³ é tal que T(1,-1)=(3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3).

6- Um operador linear T: IR²→IR² tal que: T(1,0)=(3,-2) e T(0,1)=(1,4),calcule:

a) T(x,y)=

b) T(-3,9)=

Gabarito:

1- B= Base Ortogonal

W= Base Ortonormal

2- a) (3x, ,x) b) (3, , 1) c) (0, , 0) d) v=(2,1)

3- f(x,y)=

4-T(x,y)=(3x+y, -2x+4y)

5- T(x,y)=(7x+4y, 3x+y,-x+y)

6-a)T(x,y)= (3x+y,-2x+4x)

b)(0,42)

Lista de Exercícios de Álgebra II

1- Considere, no IR³, os vetores v1= (1, -3,2 ) , v2=( 2, 4, -1), escreva o vetor v3 =(-4, -18, 7) como combinação linear de v1 e v2 :

2- Sejam os vetores v1 =(3,1 ) e v2=2, 4(), e os escalares a1=2 e a2= -1, podemos encontrar o vetor v=(x, y), que seja combinação linear de v1 e v2.

3- Verifique se os conjuntos são LI (linearmente independentes) ou

LD (linearmente dependentes)

a) A={(3, 1), (1, 2)}, V= IR²

b) B=={(1, 2,0), (0, 1, 1), (2, 4, 0)}, V= IR³

c) C={(2,4), (6, 12)}, V= IR²

d) D={( 1, 0, 2), (2, 0, 4)}, V= IR³

e) E ={(0,0,0), (2 , 3, 4), (5, 6, 7)}, V= IR³

f) F=

4- Em relação ao produto interno usual do IR², calcular u.v, sendo u=(6,-1) e

v=( ,-4)

5- Sendo os vetores u=(1, 5) e v=(3, 4)do IR2 :

a) Calcule o produto interno usual de u por v: símbolo

b) O produto de u e v, considerando: (x1,y1).( x2,y2) = x1y1 - x1y2.- x2y1 +3x2y2

c) , considerando o produto interno usual.

d) , considerando o produto item do item b.

6- Considere os seguintes vetores do IR3 : u=(1, 2, 4) e v=(2,-3, 5), w=(4,2,-3). Considerando o produto interno: (x1,y1, z1).( x2,y2, z2) = - x1x2-2 y1y2.+3 z1z2. Ache:

a) u.v b) v.w c) d) (u + v).w e)

7-Seja o espaço vetorial V de polinômios com produto interno definido por e os polinômios f(t)= t + 2, g(t)=3t – 2 e h(t)= t2 -2t – 3. Determine:

a) f. g b) f . h c) f .f d)