A fórmula e as séries apocalíptica de sóstenes Rônmel da Сruz

A FÓRMULA E AS SÉRIES APOCALÍPTICA DE SÓSTENES RÔNMEL DA CRUZ

No século 18 o matemático Euler descobriu uma fórmula para achar os valores das séries convergentes de potência pares.

Muitos matemáticos realizaram diversos estudos sobre séries convergentes de potência ímpares, sendo assim dentro desse contexto é que o presente trabalho foi feito. Para tanto, utilizou-se de conceitos elementares de Álgebra Vetorial e de Análise Matemática.

Keywords:

1. IntroduÇãO

O desenvolvimento dos estudos das séries matemáticas ocorreu devido à necessidade de explicar alguns fenômenos ondulatórios. Sendo assim, diferentes tipos de séries foram descobertas. Uma série númerica converge se a sucessão das reduzidas também chamadas de somas parciais, converge. A sucessão das reduzidas é aquela cujo termo geral é (reduzida de ordem n). As séries do tipo , com α > 1, convergem sempre. Por outro lado, as séries do tipo , com α  1, não convergem, e, então, diz-se que elas divergem. Para α = 1, a série é denominada de série harmônica. Utilizando-se da análise de Fourier, é possível mostrar que: (i) e (ii) . A série do item (i) é conhecida como série de Euler.

2. Fundamentos de Álgebra Vetorial

O ângulo α formado entre dois vetores u e v, é dado pela fórmula:

(1)

Onde: u.v é o produto escalar entre os vetores u e v e u,v são respectivamente os módulos dos vetores u e v.O produto escalar entre dois vetores é a soma do resultado do produto entre as componentes correspondentes desses vetores. Módulo de um vetor é a raiz quadrada da soma dos resultados dos quadrados das componentes desse vetor. Os vetores u e v pertencem a com e n pertencendo a .

Suponha-se que ,

com e n pertencendo a , seja um vetor  a e que v= seja um vetor  a com e n pertencendo a . Calculando-se o módulo dos vetores u e v, tem-se:

(2)

(3)

Mas,

(4)

Substituindo a expressão 4 na 2, tem-se:

(5)

é uma série geométrica de razão . Sendo assim, tem-se:

(6)

Substituindo a expressão 6 na 3, tem-se:

(7)

Calculando-se o produto escalar entre os vetores u e v, tem-se:

(8)

Substituindo as expressões 5, 7 e 8 na 1, tem-se:

(9)

3. Fundamentos do Cálculo

Multiplicando ambos os lados da expressão 9 por d e considerando as constantes de integração diferente de zero, após calcular as integrais do lado esquerdo, tem-se as expressões 10 e 11:

(10)

(11)

Resolvendo as integrais do lado esquerdo da expressão 11 utilizando o método da substituição, tem-se:

(12)

(13)

(14)

Substituindo as expressões 12, 13 e 14 na 11, tem-se:

Substituindo

(15)

Onde é a constante de integração.

(16)

Visto que

Substituindo e passando 16 para o plano complexo temos:

Vamos usar o símbolo de somatório

Igualando as partes reais e imaginárias temos

 parte real

 parte imaginária

(17)

Da parte imaginária temos que:

Substituindo

...