Numero Real

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O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.1 2

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Denomina-se corpo dos números reais a colecção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais,3 formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!

Índice

• 1 Propriedades

• 2 Construção intuitiva

• 3 Construção rigorosa

• 4 Extensões

• 5 Referências

• 6 Leitura adicional

Propriedades

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, tem a seguinte propriedade:

• Se for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B

Nas palavras de Dedekind:4

Se todos os pontos da reta são divididos em duas classes, tal que todo ponto da primeira classe está à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe um, e apenas um, ponto que causa esta divisão de todos os pontos em duas classes, este corte da reta em duas porções. (...) Assumir esta propriedade da linha não é nada além do que o axioma pelo qual consideramos a reta contínua.

Formalmente:5

Construção intuitiva

Intuitivamente, podemos construir o conjuntos dos números reais a partir dos racionais da seguinte forma: uma reta formada por números racionais tem buracos6 7 (por exemplo, existe um buraco onde deveria estar a raiz quadrada de 2). O conjunto dos números reais completa essa reta, tapando todos os buracos, de forma que se a reta real está dividida em duas semi-retas, então existe um ponto separando as duas semi-retas.

Construção rigorosa

Existem várias formas rigorosas de construir a partir de , as mais tradicionais8 são através dos cortes de Dedekind e de sucessões de Cauchy.

Extensões

• O corpo dos números complexos é a única extensão algébrica do corpo .

• Não existe nenhuma extensão própria de que seja um corpo Arquimediano.

• Uma extensão transcendente de pode ser construída tomando-se o corpo de frações gerado pelo anel de polinômios reais. Neste corpo pode ser definida uma relação de ordem, de forma que a inclusão de neste corpo seja um isomorfismo de corpos ordenados entre e sua imagem. Obviamente, neste corpo existem elementos maiores que qualquer racional, cujos inversos são números positivos menores que qualquer racional positivo (infinitésimos).

• O corpo ordenado dos números hiperreais estende , incluindo números infinitesimais.

• Pode-se acrescentar os dois elementos , obtendo-se os números reais estendidos. Este conjunto, porém, não é um corpo, porque a soma e a multiplicação não são operações binárias (por exemplo, não existe uma definição satisfatória de ].

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:

Livros e manuais no Wikilivros

Referências

1. Ailton Feitosa. Números Reais (em português) InfoEscola. Visitado em 02 de março de 2014.

2. Marcos Noé. Números Reais (em português) R7 Brasil Escola. Visitado em 02 de março de 2014.

3. Durão Judice, Edson. Introdução à álgebra linear. Instituto de Minas Gerais, 1960. pp. 220.

4. Richard Dedekind, Continuity and irrational numbers (seção V, subseção VI) (1872), citado por Jim Propp, Dedekind's forgotten axiom and why we should teach it (and why we shouldn't teach mathematical induction in our calculus classes) [em linha]

5. Winfried Just, Martin Weese, Discovering Modern Set Theory: The basics (1996), p.86 [google books]

6. ZOEGA TÁBOAS, Plácido. Cálculo em uma Variável Real (em ). [S.l.]: EdUSP, 2008. p. 17. ISBN 8531410312.

7. Números irracionais (em português) IGM (23 de agosto de 2010). Visitado em 04