O conceito da Derivada

O conceito da Derivada

A derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada de uma função num ponto indica a taxa de variação da função em relação ao argumento da própria função. Por exemplo, a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade é uma derivada.

Taxa de variação

Estudaremos o conceito de taxa de variação analisando a taxa de variação media e a taxa de variação instantânea. Tais análises permitirão entender o conceito de derivada, em que tem grande aplicação nas mais variadas áreas do conhecimento.

Taxa de variação média.

Taxa de variação media representa o coeficiente angular da reta que representa graficamente a função. A função da reta e dada por:

Y= f(x) =m. x + b

O conceito de variação media não é exclusiva das funções de 1º grau, pode ser calculada para qualquer função. Se y representa a variável independente, então a taxa de variação media de y em relação a x é calculada pela razão taxa de variação média.

Variação em y = Δ y

Taxa de variação media= variação em x = Δ x

Taxa de variação média em um intervalo.

A taxa de variação média sempre é calculada para intervalos de variável independentemente. Nesse sentido, consideramos que para um grupos de operários em uma indústria de alimentos a quantidade P de alimentos produzidos depende do número X de horas trabalhadas a partir do início do expediente e que tal produção e dada por P = K . x² e fazendo K = 1, temos:

P= x²

Onde P é dada a tonelada. Então temos a produção como função do tempo x, ou seja, P = f(x), e podemos escrever a produção como

f(x)= x²

O instante do início do expediente é representado por x = 0, ou, 0h00. Para determinar a taxa de variação media da produção para o intervalo de tempo das 3h00 ate as 4h00 e também para o intervalo das 4h00 até as 5h00. (para 3 ≤ x ≤ 4 e para 4 ≤ x ≤ 5).

A taxa de variação média para esse exemplo será:

Variação em P = Δ P

Taxa de variação media= variação em x = Δ x

Para os intervalos de tempo estipulados acima, teremos:

Taxa de variação media = f(4) – f(3) = 4² - 3² = 16 – 9 = 7 ton/h

De f(x) para o intervalo 4-3 1

De 3 até 4

Taxa de variação media = f(5) – f(4) = 5² - 4² = 25 – 16 = 9 ton/h

De f(x) para o intervalo 5 – 4 1

De 4 até 5

A taxa de variação media é obtida pela divisão de duas grandezas que na prática, têm unidades de medida, então a taxa de variação media também tem unidade de medida que será dada pela divisão das duas unidades de medida envolvidas.

Para as taxas obtidas anteriormente, a tonelada é a unidade de medida da produção, então sua variação (ΔP) também é medida em tonelada, enquanto hora é a unidade de medida do tempo, sua variação (Δx) também é ,medida em hora, assim a taxa de variação medida foi em Tonelada :

Hora

Taxa de variação média = ΔP ≈ tonelada = ton/h

Δx hora

Se escrevermos de maneira geral um intervalo de A até b a taxa de variação média será dada por:

Taxa de variação média = f(b) – f(a)

De f(x) para o intervalo b - a

De a até b.

Para definirmos a taxa de variação media podemos ainda considerar o tamanho do intervalo como sendo h, ou seja,

b – a = h

Ao isolarmos b, obtemos,

b = a + h

E o intervalo de a até b passa a ser de a até a + h. Então, podemos escrever a taxa de variação media como:

Taxa de variação média

De f(x) para o intervalo = f(a + b) – f (a)

De a até a + b h

Escrever a taxa de variação media dessa forma pode ser bastante pratica para a obtenção da taxa de variação instantânea.

Taxa de variação instantânea

Para conhecermos a taxa de variação instantânea é preciso saber a variação média. A taxa média de variação da função determina o coeficiente angular da reta secante à função pelos pontos determinados.

Para compreendermos como é possível o calculo da taxa de variação instantânea da produção e qual o valor de tal taxa para o instante x = 3, vamos utilizar a seguinte ideia: calcularemos varias taxas de variação média para o intervalo de tempo “muito pequeno”, cada vez mais “próximo” do instante x = 3.

Considerando o instante x = 3, vamos tomar para os cálculos das taxas de variação média o intervalo de 3 ate 3 + h, onde h representa o tamanho do intervalo;

Taxa de variação média

De f(x) para o intervalo = f (

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