O conceito de derivada e a regra de derivação

1. INTRODUÇÃO

Poderemos desenvolver a etapa 1 e 2 para aprimorarmos nossos conhecimentos.

Pesquisando e calculando a velocidade instantânea, aceleração média e instantânea em nosso trabalho.

Aprenderemos que a constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números...................................................................................................

Podemos ver a série harmônica na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG.........................................................................................................................................

2. DESENVOLVIMENTO ETAPA 1

Aula-Tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

 PASSO 1

Velocidade instantânea: ao trafegar em uma estrada você pode observar no velocímetro do carro que a velocidade indicada varia no decorrer do tempo.

Esta velocidade que você lê no velocímetro em um determinado instante é denominada velocidade instantânea.

Para determinar esta velocidade tem-se que calcular o limite de ( S/ t), para t tendendo a zero; Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.

Por outro lado, pode-se concluir que o módulo da velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2 .

Para realizar o cálculo de velocidade instantânea, ou seja, quando o intervalo de tempo for muito próximo a zero, usa-se um cálculo de derivada:

Derivando a equação deslocamento em movimento uniformemente acelerado em função do tempo:

d [ So + Vot + ½ at2 ]

=> V = Vo + at

dt

Δ x dx

V = lim =

Δ t at

Δt = > 0

Exemplo:

a = 2 + 6 + 9 + 8 + 0 = 26

a = 25

S = So + Vot + ½ at²

S = o + ot + ½ 25 t²

Derivando esta função temos :

V = 0 + 25 * t

 PASSO 2

Tempo de 0s o espaço será 0m e a velocidade 0 m/s.

Tempo valendo 2,5s

S = 0 + 0 * 2,5 + ½ * 26 * 2,5²

S = 81,25 m

V = Vo + 26 * 2,5

V = 65 m/s

Tempo valendo 5s:

S = 0 + 0 * 2,5 + ½ * 26 * 5²

S = 325 m

V = Vo + 26 * 5

V = 130 m/s

S (m) t (s)

0 0

81,25 2,5

325 5

V (m/s) t (s)

0 0

65 2,5

130 5

Gráfico do Espaço (s)

Gráfico v(m) x t(s)

No gráfico da velocidade obtém-se uma reta em ascensão, pois a aceleração é positiva (a > 0).

Cálculo da variação de espaço.

A variação de espaço é :

Δs = Sf – S0

Δs = 325 – 0

Δs = 325m

A variação de velocidade é :

Δv = Vf – V0

Δv = 130 – 0

Δv = 130m/s

Cálculo da área formada pela função velocidade:

5

∫ 0 + 26t dx

0

( 0 + 26 * 0) = 0

( 0 + 26 * 5) = 130

130 – 0/2 = 65

Área de 65m²

3. DESENVOLVIMENTO ETAPA 2

2.1.1: Conceito de Derivada e Regras de Derivação.

Essa atividade é importante para poder verificar a aplicação da derivada inserida em

situações relacionadas às várias áreas como física, biologia, música etc. Uma observação mais

aprofundada sobre o conceito de derivação e um olhar mais amplo sobre a constante de

Euler, que é muito usada, mas que muitas vezes assumi um papel oculto dentro do próprio

cálculo matemático e que por sua vez está intrinsecamente ligado a vários fenômenos

naturais.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1

2.2.2: O que é a Constante de Euler?

Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuída a este número a notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

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