OS POLINÔMIOS

POLINÔMIOS

Definição: Chama-se polinômio a toda expressão algébrica do tipo

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Onde:

• [pic 2]
• [pic 3]
• [pic 4]
• [pic 5]

Observação: Definimos função polinomial de variável complexa, à sentença:

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Exemplos:

a)   (completo e ordenado)[pic 7]

b)   (incompleto)[pic 8]

c)   (completo e ordenado)[pic 9]

Valor Numérico

• É o valor que obtemos quando substituímos a variável por um número complexo qualquer e efetuamos as operações.

Ex.:  Dado o polinômio    vamos calcular o valor de:[pic 10]

a)   [pic 11]

              [pic 12]

b)   [pic 13]

              [pic 14]

              [pic 15]

Raiz de um Polinômio

• É o valor da variável  x  que anula o polinômio, isto é, o valor de  x  que faz  P(x) = 0.

Ex.: Dado o polinômio    ,  verifique se o números     são raízes de P(x).        [pic 16][pic 17]

       [pic 18]

       [pic 19]

       Portanto,     é raiz de P(x)  e    não é raiz de P(x).[pic 20][pic 21]

Igualdade de Polinômios

• Dizemos que dois polinômios do mesmo grau são iguais ou idênticos, quando seus coeficientes de mesmo grau são iguais.

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Observação: dois polinômios idênticos assumem valores numéricos iguais para qualquer valor assumido pela variável, isto é,   [pic 24]

Ex.:  Dados os polinômios     determine os valores de   ,  para que  [pic 25][pic 26][pic 27]

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[pic 29]

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Polinômio Nulo

• Dizemos que um polinômio     é nulo, quando todos os coeficientes da sua variável forem nulos.[pic 31]

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Operações com Polinômios

Adição e Subtração

• Na adição e subtração de polinômios definidos com a mesma variável, basta nós reduzirmos os termos semelhantes entre eles.

Ex.:  Dados os polinômios  , calcule:[pic 34]

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Observações:

1. A adição é comutável, portanto:    [pic 43]

1. A subtração não é comutável, portanto:    [pic 44]

Multiplicação

• Na multiplicação de termos algébricos, nós multiplicamos os coeficientes numéricos e aplicamos a propriedade da multiplicação de potências com a mesma base, nas partes literais.

Ex.:  [pic 45]

Veja que:   [pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Divisão

• Na divisão de termos algébricos, nós dividimos os coeficientes numéricos e aplicamos a propriedade da divisão de potências com a mesma base, nas partes literais.

Ex.:  [pic 49]

Veja que:   [pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

Divisão de Polinômios

Método da Chave (Ensino Fundamental)

Observações:

1. Os polinômios do dividendo (D) e do divisor (d) devem estar completos e ordenados, com os expoentes em ordem decrescente.

2. Nesse método, nós encontraremos o quociente (Q) e o resto (R) da divisão.

 [pic 53]

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 [pic 55]

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Método de Descartes (Método dos Coeficientes a Determinar)

• Nesse caso, devemos levar em consideração que a divisão é a operação inversa da multiplicação.

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Observações:

1. O grau do quociente é igual ao grau do dividendo menos o grau do divisor.

2. O grau do resto é menor que o grau do divisor.

Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão  [pic 58]

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[pic 61]

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[pic 63]

[pic 64]

De onde concluímos que:

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[pic 66]

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Portanto:   [pic 70]

Teorema do Resto

• O resto da divisão de um polinômio    por um binômio do 1º grau do tipo     é igual ao valor numérico de     para     [pic 71][pic 72][pic 73][pic 74]

[pic 75]

Exemplo 1: Calcule o reto da divisão do polinômio  [pic 76]

[pic 77]

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Exemplo 2: Sabendo que o resto da divisão do polinômio     é igual a 6, calcule o valor de k.[pic 79]

[pic 80]

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Teorema de D’Alembert

• Se um polinômio    é divisível por      então    é raiz de  ,  portanto     [pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]

Nesse caso, a raiz do binômio é também raiz do polinômio.

Exemplo: Sabendo que o polinômio    calcule  [pic 87][pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

.[pic 91]

Teorema da Divisibilidade

• Se um polinômio    é divisível pelo produto   ,   então    é divisível separadamente por   .  [pic 92][pic 93][pic 94][pic 95]

Nesse caso,    são raízes de   [pic 96][pic 97]

Exemplo: Sabendo que o polinômio    calcule os valores de  [pic 98][pic 99]

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Dispositivo Prático de Briot – Ruffini

• Esse dispositivo nos permite avaliar e calcular o quociente (Q) e o resto (R) da divisão de um polinômio    por um binômio do 1º grau do tipo   [pic 105][pic 106]

Observações importantes para o uso correto desse dispositivo:

1. Os polinômios do dividendo     e do divisor     devem estar completos e ordenados.[pic 107][pic 108]

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