Os Sistemas Lineares
Por: mevale • 26/7/2021 • Abstract • 1.127 Palavras (5 Páginas) • 81 Visualizações
Métodos Numéricos[pic 1]
SISTEMS LINEARES
Profa Maria Rita Rocha do Carmo/ DEMAT [pic 2]
CAP. 2 – SISTEMAS LINEARES
2.3- MÉTODOS ITERATIVOS
2.3.1 INTRODUÇÃO
A solução [pic 3] de um sistema linear Ax = b pode ser obtida utilizando-se um método iterativo que consiste em calcular uma seqüência x1, x2, x3, ....,xk,... de aproximação de [pic 4], sendo dada uma aproximação inicial x0.
Para tanto, transforma-se o sistema dado num equivalente da forma
x = Fx + d, onde F é uma matriz n x n , x e d matrizes n x 1
Partindo-se de uma aproximação inicial x0 = ([pic 5]),
obtem-se: x1 = Fx0 + d
x2 = F x1 + d
[pic 6]
xk+1= F (x)k + d
[pic 7]
2.3.2 – MÉTODO DE JACOBI
Seja o Sistema : [pic 8]
Explicita-se, no sistema acima, x1 na primeira linha, x2 na segunda linha e assim por diante:
[pic 9]
DEVE-SE REAJUSTAR AS LINHAS CASO OCORRA ALGUM aII
O método de Jacobi funciona da seguinte forma:
- Escolhe-se uma aproximação inicial x0
- Geram-se aproximações de x(k) a partir da iteração x(k+1)=F x(k) + d, k = 0, 1, 2, 3, ....
- O processo é interrompido quando um dos critérios abaixo for satisfeito.
CRITÉRIOS:
- Max |xik+1-xik| [pic 10]
- K > M , onde M é o número máximo de iterações;
Exemplo:
Resolver pelo método de Jacobi:[pic 11] com ε ≤ 10-2 ou K > 10 e x0 = (0,0)T.
Para K = 0 (primeira iteração) x0 = (0,0)T solução inicial arbitrária.
Para K = 1 (segunda iteração)
x1 = (1 + x20 )/ 2 🡪 x1 = 0,5
x2 = (3 – x10) / 2 🡪 x2 = 1,5 🡪 x1 = (0,5 1,5)T
tolerância = 1,5
Para K = 2
x1 = (1 + x21 )/ 2 🡪 x1 = 1,25
x2 = (3 – x11 )/ 2 🡪 x2 = 1,25 🡪 x2 = (1,25 1,25)T
...