Otimização

    Centro Universitário Leonardo da Vinci

     Diciplina : Cálculo Diferencial 1

     Professor (a):

     Acadêmicos:                                                

  OTIMIZAÇÃO

          PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO

   Um galpão deve ser construído tendo uma área de 12.100 m2.A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.

    Solução:

     A figura abaixo ajuda a definir a função que vamos minimizar.

[pic 1]

   Sabemos que A = 12.100 m2 = x ∙ y.

   A função que definirá a área do lote é

   S = ( x + 12 + 12 ) ( y + 25 + 20 )

      = ( x +24 ) ( y + 45 ).

  De (1), obtemos que y = . Substituindo em (2), vem[pic 2]

    S (x) = ( x + 24 ) .[pic 3]

  Esta é a função que queremos minimizar.

   Temos:

[pic 4]

Resolvendo a equação , obtemos que [pic 5][pic 6]

É um ponto crítico. ( x é uma medida e, portanto, consideramos só o valor positivo. )

[pic 7]

   Temos que  e, portanto, (. Logo [pic 8][pic 9][pic 10]

       X =  é um ponto de mínimo. [pic 11]

  Fazendo   x=  80,33 m, obtemos que    [pic 12][pic 13]

      y=[pic 14]

   e, então, a área mínima obtida quando as dimensões do lote  

   forem aproximadamente (80,33 + 24) m ∙ (150,62 + 45) m

   Portanto a dimensões do lote serão :

     x = 104,33 m aproximadamente

     y = 195,62 m aproximadamente

[pic 15]

[pic 16][pic 17]

...