Teorema

Suponha válido o Princípio da Indução. Seja não vazio. Suponhamos por absurdo que B não possua elemento mínimo. Em particular, (senão 1 seria elemento mínimo de B). Seja .

Observamos inicialmente que . De fato, se , então existe . Tendo temos também n < m qualquer que seja , em particular, tomando obtemos n < n o que é absurdo. Concluímos que .

Mostraremos a seguir que . Vejamos agora que isto é suficiente para concluir a demonstração. Neste caso temos contradizendo a hipótese .

Mostremos, por indução, que . Já sabemos que e portanto qualquer

que seja , ou seja, . Tomemos . Por definição de A temos qualquer que seja , logo para todo . Se então é um elemento mínimo de B. Como, por hipótese, B não possui elemento mínimo, segue que e portanto para qualquer . Concluímos que . Pelo Princípio da Indução .

PRINCÍPIO DA BOA ORDEM E PRINCÍPIOS DE INDUÇÃO

São grande ferramenta para o desenvolvimento da Álgebra e da própria Matemática . que foi proposto pelo matemático Giuseppe Peano como último axioma na construção do conjunto dos Números Naturais. Mais é possível provar que os dois princípios são equivalentes.

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