Teoremas

Fórmulas e Teoremas para a avaliação:

1 – Calcule . Se 0, então a série diverge. Se = 0, nenhuma conclusão pode ser tirada.

2 – Examine a série para determinar se ela faz parte de alguns dos tipos especiais:

(i) Uma série geométrica: Σ . Ela converge para a soma , se | | < 1 e diverge se | | 1.

(ii) Uma série p: Σ (onde p é uma constante). Ela converge se p > 1 e diverge se p 1.

(iii) Uma série alternada: Σ ou Σ .

Aplique o teste de séries alternadas: se > 0 e < (ou ) para todo n inteiro positivo, e = 0, então a série alternada é convergente.

3 – Tente o teste da razão: seja Σ uma série infinita dada, para a qual todo é não-nulo. Então,

(i) se | | = L < 1, a série dada é absolutamente convergente;

(ii) se | | = L > 1 ou se | | = + , a série é divergente;

(iii) se | | = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste.

4 – Tente o teste da raiz: seja Σ uma série infinita dada, para a qual todo é não-nulo. Então,

(i) se √| | = L < 1, a série dada é absolutamente convergente;

(ii) se √| | = L > 1 ou se √| | = + , a série é divergente;

(iii) se √| | = 1, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste.

5 – Tente o teste da integral : seja f uma função contínua, decrescente e com valores positivos para todo x 1. Então a série infinita Σ será convergente se a integral imprópria ∫ existir, e será divergente se ∫ = + 6 - Tente o teste de comparação: seja Σ uma série de termos positivos.

(i) Se Σ for uma série convergente de termos positivos já conhecida e para todo n inteiro positivo, então Σ será convergente.

(ii) Se Σ for uma série divergente de termos positivos já conhecida e para todo n inteiro positivo, então Σ será divergente.

Ou tente o teste de comparação com limite: sejam Σ e Σ duas séries de termos positivos.

(i) Se = c > 0, então ambas as séries convergem ou divergem conjuntamente.

(ii) Se = 0 e se Σ converge, então Σ converge.

(iii) Se = + e se Σ diverge, então Σ diverge.