Vortices

 

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

COORDENAÇÃO DE PESQUISA

Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica – PIBIC

DINÂMICA DE VÓRTICES EM DOMÍNIOS DO PLANO

Área de Concentração: Equações Diferenciais Ordinárias

Discente: Wendell Barros de Souza

Orientador (a): HUMBERTO HENRIQUE DE BARROS VIGLIONI

Departamento de Matemática

Relatório Semestral

Período

2014/2015

Este projeto de iniciação científica é desenvolvido na modalidade voluntário (IC)

PIBIC/COPES

Resumo

O projeto de pesquisa, desenvolvido em sua primeira parte, tem objetivo trazer pré-requisitos fundamentais, ou seja, desenvolver um conhecimento básico sobre sistemas hamiltonianos, entender a física da dinâmica de vórtices e conhecer e entender as equações de Euler, de Navier-Stokes e a formulação hamiltoniana da dinâmica de vórtices no plano.

Palavras-chave: vórtices, equações de Euler, hamiltoniano, funções holomorfas, plano.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO …........................................................................................3

2. REVISÃO DA LITERATURA ...........................................................4

3. METODOLOGIA …...................................................................................5

  4. RESULTADOS E CONCLUSÕES...................................................6

5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS….........................................9

1. Introdução

Este relatório descreve as atividades realizadas no período de agosto de 2014 a janeiro de 2015 do projeto de iniciação cientifica Dinâmica de vórtices em domínios do plano. O projeto até o momento concentrou-se no estudo de :

• Conceitos básicos de mecânica hamiltoniana e equações diferenciais ordinárias: Leis de Newton, energia potencial, sistemas potenciais, sistemas hamiltonianos, conservação da energia, retrato de fase, espaço de fase, espaço de configurações, graus de liberdade, sistemas conservativos, exemplos de sistemas mecânicos de baixa dimensão, grupo galileanos, referenciais inerciais, princípio da relatividade.

        

• Sistemas mecânicos com um grau de liberdade

• Mecânica dos fluidos: Equação de Euler e Navier-Stokes, balaço de momento, conservação de energia, relação com a segunda lei de Newton.

• Função "impulso": Delta de Dirac; 

• Dinâmica de vórtices: vórtices no plano, sistema de vórtices como discretização da Equação de Euler para vorticidade, equações de Helmholtz-Kirchoff.

• Soluções estacionárias da equação de Euler no plano: funções holomorfas como geradoras do campo de velocidade de um fluido ideal estacionário.

• Função holomorfa correspondente ao campo de vórtice no plano.

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2. Revisão de literatura.

Durante essa primeira parte do projeto nossos estudos foram embasados nas seguintes literaturas:

-Mathematical Methods of Classical Mechanics (V. I. Arnold);

-Ordinary Differential Equations (V. I. Arnold);

- Dinâmica Conservativa com um Grau de Liberdade (Eduardo Colli - IME/USP);

-Vídeo aula sobre teoria de distribuições (UNICAMP);

- Texto elaborado pelo orientador sobre dinâmica de vórtices.

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3. Metodologia

         A metodologia adotada consiste em apresentações de seminários,  reuniões para apresentação de resultados e esclarecimento de dúvidas, ocorrendo semanalmente. Os seminários geralmente são dados ao se iniciar um novo conteúdo, sempre ministrado pelo professor, ele serve de base para o prosseguimento de estudos. Nas reuniões, são discutidos os resultados dos problemas passados e o detalhamento de seus passos, que geralmente são muito diretos. Cabe, então, aos alunos integrantes do grupo elucidar cada passagem detalhadamente, facilitando assim o entendimento do problema.

Cronograma de atividades

Atividades Realizadas

2014

2015

Ago

Set

Out

Nov

Dez

Jan

Fev

Mar

Abr

Mai

Jun

Jul

PESQUISA BIBLIOGRÁFICA.

SISTEMAS HAMILTONIANOS; EQUAÇÕES DE HELMHOLTZ-KIRCHHOFF.

APLICAÇÃO DO MÉTODO DS IMAGENS AO PROBLEMA DE DOIS VÓRTICES EM DOMÍNIOS COM SIMETRIA.

ELABORAÇÃO DE RELATÓRIO

DINÂMICA DE VÓRTICES EM DOMÍNIOS DO PLANO COM BORDO E ILIMITADO.

PROPRIEDADES DINÂMICAS DO PROBLEMA DE DOIS VÓRTICES EM DOMÍNIOS DO PLANO MULTIPLAMENTE CONEXOS.

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4. Resultados e conclusões

Inicialmente, fez-se o estudo de conceitos básicos de mecânica hamiltoniana e equações diferenciais ordinárias, necessários para o aprendizado das técnicas matemáticas que serão aplicadas à análise de problemas específicos. Através desses estudos foi descrito a evolução de sistemas mecânicos de natureza conservativa. As equações que descrevem esses sistemas são denominadas equações de Hamilton e podem ser deduzidas diretamente da segunda lei de Newton.