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Trabalho Completo Constante De Euller

Constante De Euller

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Categoria: Outras

Enviado por: fernandomenezes2 20 maio 2013

Palavras: 1631 | Páginas: 7

RESUMO

Essa Atividade será abordada a constante de Euller, contando a sua trajetória onde ele nasceu ,viveu e se tornou esse grande gênio da matemática.

Serão demonstradas as séries harmônicas, na música, na matemática e na física, além das infinitas somatórias de uma PG. Mostrando suas similaridades e diferenças.

Apresentaremos o modelo de uma colônia de vírus que descreve propagação do mesmo em um determinado ambiente, em função do tempo.

SUMÁRIO

ETAPA 2................................................................................................................2

Passo 1..............................................................................................................2

Passo 2..............................................................................................................4

Passo 3..............................................................................................................5

Passo 4..............................................................................................................5

CONCLUSÃO.......................................................................................................6

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................6

ETAPA 2

Passo 1:

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades. Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}, esboçar um gráfico representativo e fazer uma conclusão a respeito.

Vida e obra

Nasceu em Basiléia, filho do pastor calvinista Paul Euler (lê-se "Óilã") e de Marguerite Brucker, filha de um pastor. Teve duas irmãs mais novas: Anna Maria e Maria Magdalena.

Pouco depois do seu nascimento, sua família mudou-se para a cidade de Riehen, onde passou a maior parte da sua infância. Desprezando seu prodigioso talento matemático, determinou que ele estudasse Teologia e seguiria a carreira religiosa. Paul Euler era um amigo da família Bernoulli, e Johann Bernoulli - que foi um dos matemáticos mais importantes da Europa - seria eventualmente uma influência no pequeno Euler.

A sua instrução formal adiantada começou na terra natal para onde foi mandado viver com a sua avó materna. Aos 14 anos matricula-se na Universidade da Basiléia, e em 1723, recebe o grau de Mestre em Filosofia com uma dissertação onde comparava Descartes com Newton. Nesta altura, já recebia, aos sábados à tarde, lições de Johann Bernoulli que rapidamente descobriu o seu talento para a matemática.

Euler nesta altura estudava teologia, grego e hebreu, pela vontade de seu pai para mais tarde se tornar pastor. Porém Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o seu filho estava destinado a ser um grande matemático.

Em 1726, Euler completou a sua dissertação na propagação do som, e a 1727 incorporou a competição premiada do problema da Academia de Paris, onde o problema do ano era encontrar a melhor maneira de colocar os mastros num navio. Ganhou o segundo lugar, perdendo para Pierre Bouguer, mais tarde conhecido como “o pai da arquitetura naval”. Euler, entretanto, ganharia o prêmio anual 12 vezes.

Constante de Euler

A grande maioria dos Números Reais é do tipo irracional. Dentre os infinitos números irracionais, o número PI (π) e o número de Euler (e), são duas constantes de grande importância em diversas áreas científicas e, também, na própria matemática. Porém, tal reciprocidade não transparece no ensino básico, onde predomina a exploração de π.

O número de Euler é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em: Cálculo de diferenciais e integrais.O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suíço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais.

Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra e são desconhecidas, mas talvez seja porque e seja a primeira letra da palavra exponencial.

Tem ainda a remarcável propriedade que a taxa de variação de ex no ponto x = t vale et, daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural.

Ou ainda, se escolherem números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

O Número de Euler com as primeiras 200 casas decimais:

e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901.

Tabela

N | Resultado |

1 | 2 |

5 | 248.832 |

10 | 25.937.446 |

50 | 2.691.588.029 |

100 | 2.704.813.829 |

500 | 2.715.568.521 |

1000 | 2.716.923.932 |

5000 | 271.801.005 |

10000 | 2.718.145.927 |

100000 | 2.718.268.237 |

Passo 2:

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos uma página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças.

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores elétricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada. Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Também podem ser utilizadas outras ferramentas de análise matemática para estudar este fenômeno, tais como as transformadas de Fourier e as séries de Fourier.

A série harmónica alternada é definida conforme: Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural. Se definir o enésimo número harmónico tal que então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral cujo valor é ln(n).

Mais precisamente, se considerarmos o limite: onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser provado que:

1. O único Hn inteiro é H1.

2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n.

A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries para p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma da série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p.

Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.

Passo 3:

Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela triplica a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

Valores: t = 8, nₒ = 50, → n(8) = 150

N(t) =Nₒ . ert → N(8)=50. er8 → 150=50. er8 → er8= 150/50 → er8=3

ln er8= ln3. Como ln e exp são funções inversas uma da outra segue que: r8=ln3 → r= ln (3/8) → r= 0,137326.

Aplicando no tempo de 48 horas: N(48)=50. e (48 x 0,137326) → N(48)=50. e6,591673 → N(48)=36.449,97 vírus.

Passo 4:

Construir uma tabela e plote um gráfico do crescimento populacional em função do tempo, observando o que ocorre a cada 4 horas.

Utilizando os princípios do passo 3, segue abaixo uma tabela com o crescimento populacional a cada 4 horas e um plote do gráfico do crescimento.

Tabela:

Tempo (horas) | Nº de vírus |

4 | 87 |

8 | 150 |

12 | 260 |

16 | 450 |

20 | 780 |

24 | 1250 |

28 | 2338 |

Gráfico :

N° de vírus/tempo(horas)

CONCLUSÃO:

No passo 1 , conhecemos a constante de Euler contando um pouco da sua historia dês das sua origens , o seu crescimento onde estudou ate seu feitos e a importância em relação a matemática para resoluções de cálculos complexos , e conhecemos a serie harmônica e sua importância na musica ,na matemática e na física no passo 2.

No passo 3 e 4 ,Utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, que se baseia na constante de Euler, e desprezando as taxas de mortalidade, calculamos quantos vírus haverá apos 48 horas em uma colônia sabendo que triplicava a cada 8 horas, que olhando o gráfico podemos verificar a proporção do crescimento .

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://matemagica.com.br/LeonhardEuler.html

http://www.slideshare.net/KakashiForever/trabalho-de-matematica-paul-euler

http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harm%C3%B4nica_(m%C3%BAsica)

https://docs.google.com/document/d/1Iffm3MwYq7kJl3NDM5K1jrqb7IYkeP8ETdagh2FKVHc/edit?hl=pt_BR.

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B9WATR68YYLOMmJlM2RmNmItOGRiMy00ZWU1LTg4YTctODEzMWJmMDg4MzAy&hl=pt_BR.