Derivadas

A reta tangente

Lembremos que a equação da reta no plano com inclinação (ou coeficiente angular) {m} e que contém o ponto {(x_0,y_0)} é

\displaystyle y-y_0 = m(x-x_0).

Seja {f} uma função e {P=(x_0,y_0)} um ponto no gráfico de {y=f(x)}, então se {Q=(x_1,y_1)} é um outro ponto no gráfico de {y=f(x)} a reta secante {PQ} tem inclinação

\displaystyle \frac {y_1-y_0}{x_1-x_0}

e fazendo {Q} aproximar-se de {P}, a reta {PQ} aproxima-se da posição da reta tangente ao gráfico de {y=f(x)} no ponto {P}, isso é

\displaystyle \lim_{x_1\rightarrow x_0} \frac {f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \lim_{x_1\rightarrow x_0} \frac {y_1-y_0}{x_1-x_0} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=f'(x_0)

é a inclinação da reta tangente, caso o limite exista, e nesse caso definimos a reta tangente ao gráfico de {f} no ponto {(x_0,f(x_0))} como o reta que tem equação

\displaystyle y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)

Um caso especial quando o limite não existe é o de limite infinito, como no caso da derivada da função {f(x) =\sqrt[3]{x}} no {0}, por exemplo. O limite que define a derivada em {0} é {+\infty} o que pode ser interpretado como reta tangente paralela ao eixo {y}; nos outros pontos a derivada é {f'(x) = \frac 13 x^{-2/3}} e, por exemplo, a reta tangente ao gráfico no ponto {(1,1)} tem equação {y = \frac x3 + \frac 23}

Já a função {F} do exemplo 19 não é diferenciável no 0 pois, como vimos, o limite não existe e, portanto, a reta tangente não existe; isso porque a inclinação da secante que passa por {(0,0)} e {(h,f(h))} varia em {[-1,1]} quando {h} tende a {0}. A função {G} do exemplo 20 é derivável no 0 e a derivada é {0}, isso significa que a reta tangente passa por {(0,0)} e tem inclinação {0}, ou seja, é o eixo {x}.

Exercício 63 Determine pontos de intersecção

do gráfico de {x^2} com a reta tangente ao gráfico em {(0,0)};

do gráfico de {x^3} com a reta tangente ao gráfico em {(0,0)}.

Note-se que a derivada foi usar para definir a reta tangente. Você pode entender mais sobre o problema de definir a noção de reta tangente ao gráfico de um função num determinado ponto lendo esta página.

Por fim, a reta normal ao gráfico de {f} no ponto {(x_0,f(x_0))} é a reta que passa por esse ponto e tem inclinação {n} tal que {nm=-1}, em que {m} é a inclinação da tangente (a normal é perpendicular à tangente), portanto, quando {f'(x_0)\neq 0} tem como equação

\displaystyle y-f(x_0) =- \frac 1{f'(x_0)}(x-x_0).

Exercício 64 No cardioide, definido acima, qual é a equação da reta normal que passa pelo ponto {(1,0)}? Qual a equação da normal ao gráfico de {y=\sqrt[3]x} no ponto {(0,0)}?

2 Taxas de variação

Velocidade Um corpo em queda livre percorreu, no instante {t}, a distância

\displaystyle s(t) = \frac g2t^2

em que {g} denota a aceleração da gravidade. No intervalo de tempo {[t_0,t_1]} a velocidade média do corpo é

\displaystyle \frac{\Delta s}{\Delta t}= \frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}

mas qual é a velocidade num dado instante {t_0}? Se {t_1 = t_0 + \Delta t} então {\Delta s = s(t_0+\Delta t) - s(t_0)} e a velocidade instantânea do corpo, no instante {t_0}, é o limite

\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} =s'(t_0)

(nessa notação {\Delta t} denota uma entidade única, faz o mesmo papel do {h} na definição de derivada).

Na discussão acima, se o tempo {t} variar de {t_0} a {t_1} então a posição varia de {s(t_0)} a {s(t_1)} e

\displaystyle \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}

é a taxa de variação média da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade média e

\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{t_1 \rightarrow t_0} \frac{s(t_1)-s(t_0)}{t_1-t_0}

é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea, no instante {t_0}. Ainda,

\displaystyle \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta s'}{\Delta t} = \lim_{t_1 \rightarrow t_0} \frac{s'(t_1)-s'(t_0)}{t_1-t_0} = s''(t_0)

é a taxa de variação instantânea da velocidade com relação ao tempo, isto é, {s''} é a aceleração instantânea, que no caso de queda livre é a constante {g=9,8 ~\mathrm{m/s^2}}, aproximadamente.

Custo marginal Se produzir {x} unidades de um produto tem custo {c=f(x)} então se a produção de {x+\Delta x} unidades acarreta custo {c+\Delta c},

\displaystyle \frac{\Delta c}{\Delta x}

é a taxa média de aumento no custo por aumento na unidade de produção e

\displaystyle c' = f'(x)

é chamado de custo marginal. Se o preço da venda é {p=F(x)} então a receita da produção é {xp = xF(x)} é

\displaystyle [xp]' = p + x p'

é a receita marginal. Finalmente o lucro é dado por {\ell =xp - c} o que, adiante, nos permitirá determinar a produção de modo a maximizar o lucro estudado a função {\ell ' = p + x p'- c'}.

Notação de Leibiniz Se a variação em {x} é {\Delta x = x_1-x_0} e a variação correspondente em {y=f(x)} for {\Delta y = f(x_1)-f(x_0)} então

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

é a taxa média de variação de {y} com relação a {x}, e quando {x_1\rightarrow x_0} ({\Delta x\rightarrow 0}) o limite é {f'(x_0)}